c) Zeigen Sie, dass f¨ur alle n≥1 gilt: ggT(Fn, Fn+1

1. Es seien a, b∈Z. Beweisen Sie:

a) a|b ⇐⇒ T(a)⊂T(b)

b) F¨ur jedes k ∈Z gilt: T(a)∩T(b) = T(a)∩T(b+ka) c) F¨ur jedes k ∈Z gilt: ggT(a, b) = ggT(a, b+ka).

2. F¨urn∈N werden die Fibonacci-Zahlen F_n rekursiv wie folgt definiert:

F₁ = 1, F₂ = 1, f¨ur n≥1 :F_n+2 =F_n+1+F_n .

a) Geben Sie die ZahlenF_n f¨ur n≤10 an und zeigen Sie, dass (F_n)n≥2 eine streng monoton wachsende Folge ist.

b) Zeigen Sie, dass f¨ur n≥2 gilt: Pn−1

i=1 F_i =F_n+1−1.

c) Zeigen Sie, dass f¨ur alle n≥1 gilt: ggT(F_n, F_n+1) = 1.

3. Beweisen Sie, dass f¨ur alle n∈N gilt:

54

2²ⁿ⁺¹−9n²+ 3n−2 .

Tipp: Versuchen Sie einen Beweis mittels vollst¨andiger Induktion zu f¨uhren.

4. Beweisen Sie die folgende Behauptung, oder finden Sie ein Gegenbeispiel:

Sind a, b, c∈Z mit ggT(a, b, c) = 1, so gilt ggT(a, b) = 1 oder ggT(a, c) = 1 oder ggT(b, c) = 1.

5. Verwenden Sie die Algorithmen von Euklid und Berlekamp, um ggT(85529,62651) zu berech- nen und diesen als (ganzzahlige) Linearkombination der beiden Zahlen darzustellen.

6. Beweisen Sie: sind a, b∈ Z mit b 6= 0, so gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r ∈ Z mit a=bq+r und −^|b|₂ < r≤ ^|b|₂.

7. Formulieren Sie mit Hilfe von Beispiel 6. eine Variante des Euklidschen Algorithmus, f¨ur welche gilt: Sinda, b, k ∈Nmit b ≤a und 2^k−1 ≤b <2^k, so l¨asst sich ggT(a, b) in h¨ochstens k Schritten berechnen.

L¨osen Sie mit dieser Variante nochmals Beispiel 5. Wie viele Schritte ben¨otigen Sie dabei?

1

8. Beweisen Sie Satz 5 von §1 der Vorlesung.

9. Es sei 2≤k ∈Nund a₁, a₂, . . . , a_k∈Z\ {0}. Zeigen Sie, dass dann kgV(a₁, a₂, . . . , a_k) = kgV

kgV(a₁, a₂, . . . , ak−1), a_k gilt.

10. Bestimmen Sie f¨ur beliebiges n ∈N:

ggT(n, n+ 1), kgV(n, n+ 1), ggT(n, n+ 1, n+ 2), kgV(n, n+ 1, n+ 2).

11. Welche x∈Q k¨onnten L¨osungen der folgenden Gleichung sein:

81x⁸−72x⁶−65x⁴+ 72x²−16 = 0 Welche davon sind tats¨achlich L¨osungen?

12. Bestimmen Sie mit einer Variante des Siebes von Eratosthenes{p∈P|300 ≤p≤400}. (Die Menge hat 16 Elemente). Welche Primzahlen m¨ussen Sie daf¨ur bereits kennen?

Uberlegen Sie sich eine¨ zeit- und platzsparende Methode, um dieses Beispiel an der Tafel vortragen zu k¨onnen!

1

13. F¨ur reelle Zahlen wird eine Operation ∗ folgendermaßen definiert:

∀x, y ∈R: x∗y=xy−2x−2y+ 6 .

Untersuchen Sie das Verkn¨upfungsgebilde (R,∗) auf alle in §2, Definition 1.c) der Vorlesung definierten Eigenschaften.

14. Es sei N eine beliebige Menge und M = P(N) die Potenzmenge von N. Zeigen Sie, dass (M,∩) eine kommutative Halbgruppe ist.

Welche Elemente von M sind bez¨uglich ∩ invertierbar?

1

15. Es sei M ={A, B, C} eine Menge mit 3 Elementen.

a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es aufM? Wie viele davon sind reflexiv, wie viele sind symmetrisch? Wie viele Relationen auf M sind reflexiv und symmetrisch?

b) Wie viele verschiedene ¨Aquivalenzrelationen gibt es auf M?

c) Geben Sie eine Relation auf M an, die eine ¨Aquivalenzrelation und zugleich auch eine Ordnungsrelation ist. Wie viele solche Relationen gibt es? K¨onnen Sie dieses Ergebnis auf beliebige Mengen M verallgemeinern?

16. Auf der Menge Qwird eine Relation ∼^δ folgendermaßen definiert:

f¨ur rationale Zahlenr, s∈Qgelter∼^δ sgenau dann, wenn in der reduzierten Bruchdarstellung

m

n = r−s von r−s gilt: 3 - n. Zeigen Sie, dass ∼^δ eine ¨Aquivalenzrelation auf Q ist, und geben Sie die ¨Aquivalenzklasse von 0 an!

17. AufQsei die Relation∼^δ so wie in Beispiel16definiert. Zeigen Sie, dass die ¨Aquivalenzklasse von 0 eine Untergruppe von (Q,+) und eine Unterstruktur von (Q,·) ist.

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en:

Zeigen Sie, dass die ¨Aquivalenzklasse von 0 bez¨uglich + keine endlich erzeugte Gruppe ist.

18. Uberlegen Sie sich, dass (GL¨ 3(R),·) (mit der Matrizenmultiplikation) eine Gruppe ist und dass die Matrizen A=_{0 0−1}

0 1 0 1 0 0

und B = _{0 0 1}

0 1 0

−1 0−1

Elemente dieser Gruppe sind.

Bestimmen Sie m¨oglichst kleine n_i ∈N, f¨ur welche Aⁿ¹ bzw. Bⁿ² bzw. (AB)ⁿ³ das neutrale Element dieser Gruppe ist.

1

19. Es sei M ={X, Y, Z}eine Menge mit 3 Elementen. Geben Sie alle m¨oglichen Verkn¨upfungen

∗ auf M an, sodass (M,∗) eine Gruppe ist!

20. Es sei C = _{a b}

−b a a, b ∈ R ⊂ M_2,2(R). Zeigen Sie, dass C eine Untergruppe von (M_2,2(R),+) ist und dass C\ {(^{0 0}_{0 0})}eine Untergruppe von (GL₂(R),·) ist!

21. Es sei (G,·) eine Gruppe undM, N ⊂G. Zeigen Sie:

a) hMi=hNi ⇐⇒ M ⊂ hNi und N ⊂ hMi.

b) hMi={ g^e₁¹g^e₂². . . g_r^er |r∈N0, g₁, . . . , g_r ∈M und e₁, . . . , e_r ∈ {1,−1} }.

c) Ist Geine abelsche Gruppe und M ={g₁, . . . , g_n} eine endliche Menge, so gilt:

hMi={ g^k₁¹g₂^k2. . . g^k_nⁿ |k_i ∈Z}.

Wie lautet dieses Ergebnis, wenn die Operation aufG mit + bezeichnet wird?

22. Bestimmen Sie h12,18,27i ≤(Z,+)!

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: k¨onnen Sie f¨ur beliebig gegebene n₁, n₂, . . . , n_r ∈ Z die Unter- gruppe hn₁, n₂, . . . , n_ri ≤(Z,+) bestimmen?

23. Welche Ordnung hat das Element ι = (_{−1 0}^{0 1}) ∈ C in den beiden Gruppenstrukturen von Beispiel 20?

24. Es sei (G,·) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element e und g, h ∈ G Torsions- elemente mit ord(g) = m∈N und ord(h) = n∈N.

Zeigen Sie, dass ord(gh)|kgV(m, n) gilt!

Geben Sie ein konkretes Beispiel mit ord(gh)<kgV(m, n) an!

1

25. Es sei (G,·) eine Gruppe mit neutralem Element e, und f¨ur jedes a∈G\ {e} sei ord(a) = 2.

Beweisen Sie: Gist kommutativ!

26. Es seien (G,·) eine Gruppe, a, b ∈ G mit ord(a) = 5, ord(b) = 2, und es gelte ab = ba⁻¹. Zeigen Sie: f¨ur die von {a, b}erzeugte Untergruppe ha, bi ≤G von G gilt:

ha, bi={a^k, a^kb|0≤k ≤4}, und diese Gruppe besteht aus genau 10 Elementen.

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Verallgemeinern Sie dieses Beispiel, indem Sie 5 durch eine beliebige nat¨urliche Zahl n ≥3 ersetzen!

27. Es seien (G,·) eine Gruppe, a∈G und U ≤G eine Untergruppe.

Beweisen Sie, dass dann auch κ_a(U) eine Untergruppe vonG ist!

28. Rsei mit der ¨ublichen Addition als Operation versehen. Geben Sie ein Repr¨asentantensystem f¨ur die Linksnebenklassen R/Z an! Gilt Z\R=R/Z?

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Geben Sie einen Gruppenhomomorphismus von (R,+) nach (C\ {0},·) an, dessen Kern gleich Z ist!

29. Es seien (G,·) eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe vom Index 2, also: (G : H) = 2.

Beweisen Sie, dass H ein Normalteiler vonG ist!

30. Es sei U eine nicht triviale Untergruppe von (Z,+). Zeigen Sie: Es gibt kein Repr¨asentanten- system R ⊂Z f¨ur die Faktorgruppe Z/U, sodass R auch eine Untergruppe vonZ ist!

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31. F¨urn∈NbezeichneC_n eine zyklische Gruppe der Ordnungn. Zeigen Sie, dass f¨ur nat¨urliche Zahlen m, n∈N folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

(i) ggT(m, n) = 1

(ii) C_m×C_n ist eine zyklische Gruppe (iii) C_m×C_n'C_mn

32. Es seien m, n∈ N mit ggT(m, n) = d > 1. Bestimmen Sie die lt. VO §3, Satz 11 eindeutig bestimmten Zahlen d1, d2 ∈Nsowie geeignete Elemente b1, b2 ∈Cm×Cn, sodass

C_m×C_n=hb₁ihb₂i (dir)

33. Es sei (R,+,·) ein Ring. Zeigen Sie, dass das Zentrum von R, Z(R) ={r ∈R |rx=xr f¨ur allex∈R}ein Teilring von R ist.

34. Uberlegen Sie sich, dass¨ R = (M2,2(R),+,·) ein Ring ist. IstR kommutativ?

Bestimmen Sie das Zentrum der Ringes, Z(R) (vgl. Beispiel 33.), und das Zentrum der Einheitengruppe von R, Z(R^×) (vgl. VO §3, Def. 8.b)).

Tipp: Verwenden Sie Matrizen mit 3 ,,Nullen”.

35. Es sei R der Ring aus Beispiel 34. und A =

a 0 b 0

a, b∈R

⊂R .

Zeigen Sie, dassA eine additive Untergruppe vonR ist und dass f¨ur alle r∈R gilt: rA⊂A.

Zusatz: K¨onnen Sie analog eine additive Untergruppe A⁰ ⊂ R finden, sodass f¨ur alle r ∈ R gilt: A⁰r⊂A⁰?

36. Zeigen Sie, dass der Ring aus Beispiel34. ein einfacher Ring ist! (Tipp wie bei Beispiel 34.)

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Uberlegen Sie sich, wie die Beispiele¨ 34.-36. f¨ur R = (M_n,n(R),+,·) und beliebiges 2≤n∈N sich verallgemeinern!

1

37. Eine schriftliche Ausarbeitung dieses Beispiels ist am Beginn der ¨Ubungseinheit abzugeben.

Es seien (R,+,·) ein Ring und I(R) = {I | I / R} die Menge aller Ideale von R. Unter- suchen Sie, bez¨uglich welcher der Operationen ∩, +, · die Menge I(R) eine (kommutative) Halbgruppe bildet.

38. Es seien R, S Ringe mit |R| = 1 und |S| ≥2. Zeigen Sie: es existiert genau ein Ringhomo- morphismus ν :S →R, und es existiert kein Ringhomomorphismus ψ :R →S.

39. Es seien R ein Ring, S ein Integrit¨atsbereich und ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus.

Zeigen Sie, dass f¨ur alle a, b ∈ R^× gilt: aba⁻¹b⁻¹ ∈ ϕ⁻¹({1}) (d.h. im Kern des Gruppen- homomorphismus der Einheitengruppen liegt).

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Gilt stets NT(R)⊂ ker(ϕ), oder k¨onnen Sie ein Gegenbeispiel dazu angeben?

40. Es sei (R,+,·) ein kommutativer Ring mit|R| ≥2. Ein Elementa∈R heißt nilpotent, wenn es ein n∈N mit aⁿ= 0 gibt. Zeigen Sie:

(i) Jedes nilpotente Element ist ein Nullteiler.

(ii) {a∈R|a ist nilpotent} ist ein Ideal von R (das Nilradikal von R).

41. Es sei 2 ≤ n ∈ N und p1, . . . , pr ∈ P die verschiedenen Primteiler von n. Zeigen Sie: ein Element a+ (n)∈Z/(n) ist genau dann nilpotent, wenn p1· · ·pr |a gilt.

K¨onnen Sie ein Beispiel eines Nullteilers angeben, der nicht nilpotent ist?

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42. Bestimmen Sie alle Ideale von Z/(30). Welche davon sind maximal? Welche Ideale enthalten nur Nullteiler (wieso)? Ist dieser Ring ein Hauptidealring?

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Zeigen Sie, dass dieser Ring isomorph zu einem Produkt von K¨orpern ist!

43. Es seien n ∈ N und R_i, 1 ≤ i ≤ n, (nicht notwendig kommutative) Ringe mit char(R_i) = n_i ∈ N0. Bestimmen Sie die Charakteristik des (¨außeren) direkten Produkts der Ringe, S =R1×R2× · · · ×Rn!

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Geben Sie die Torsionselemente vonS an bzw. eine Formel, wie sich deren Ordnung aus den Ordnungen der einzelnen Komponenten bestimmen l¨asst!

44. a) Bestimmen Sie alle x∈Z, f¨ur die 3(x−1)≡18 mod (70) gilt.

b) Es seien a, b∈Z, m∈N und d= ggT(a, m). Beweisen Sie:

a≡b mod (m) ⇐⇒ d|b und a d ≡ b

d mod m d

. Bestimmen Sie alle x∈Z, f¨ur die 7x+ 2 ≡23 mod (70) gilt.

45. Bestimmen Sie jeweils alle x∈Z, die das Kongruenzsystem

x≡a₁ mod (3), x≡a₂ mod (4), x≡a₃ mod (5) l¨osen, wobei (a₁, a₂, a₃) = (1,0,0) bzw. (0,1,0) bzw. (0,0,1) bzw. (2,2,4) ist.

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46. Es sei ϕ die Euler’sche Phi-Funktion.

a) Beweisen Sie, dass f¨ur jede nat¨urliche Zahl n≥3 ϕ(n) gerade ist!

b) Zeigen Sie, dass f¨ur jede ungerade nat¨urliche Zahl n∈N gilt: ϕ(n) =ϕ(2n).

c) Bestimmen Sie alle n∈N mit ϕ(n) = 10 bzw. ϕ(n) = 14.

47. Bestimmen Sie den 7-adischen Exponenten und die 7-adische Ziffernentwicklung der folgenden (Dezimal-)Zahlen:

5074, 5737 2401 .

48. Bestimmen Sie mittels Satz 5 aus §5 der Vorlesung die Vorperiodenl¨ange und die Perio- denl¨ange der 2-adischen bzw. der 5-adischen Ziffernentwicklung von x= 7

20. Geben Sie die Dualdarstellung von 7

20 an!

49. Es seien S ein kommutativer Ring, R≤S ein Teilring und x∈S. Zeigen Sie: Ist die Menge M ={x}algebraisch unabh¨angig ¨uberR, so ist f¨ur jedesa∈R auch die MengeM_a ={x+a}

algebraisch unabh¨angig ¨uber R.

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en: Gilt das Ergebnis auch, wenn man statt x+a andere Elemente von R[x] w¨ahlt?

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50. L¨asst sich die ,,Division mit Rest” (Satz 5.d)) f¨ur die Polynome f = 6X³ +X²−12X+ 12 und g = 2X −1 im Polynomring Z[X] bzw. Q[X] durchf¨uhren? Falls ja, geben Sie die entsprechenden Polynome q und r an!

51. Beweisen Sie: ist f ∈R[X] ein Polynom mit reellen Koeffizienten und α ∈C\R eine nicht- reelle, komplexe Nullstelle von f, so ist auch α eine Nullstelle von f.

Welche Eigenschaften hat die komplexe Konjugation als Abbildung von C nach C (z 7→ z) aus algebraischer Sicht?

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