J. M¨uller WiSe 2019/2020 30.10.2019
1. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A1: Es seien Ω⊂Coffen undf : Ω→C. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:
(i) f ∈H(Ω).
(ii) f ∈C1(Ω) und f¨ur alle (u, v)∈R2\ {(0,0)}gilt
∂(u,v)f = (u+iv)·∂(1,0)f, wobei (mitt reell)
(∂(u,v)f)(a) := lim
t→0 f(a+t(u, v))−f(a) /t
die Ableitung vonf in Richtung (u, v) anabezeichnet.
(iii) f ∈C1(Ω) und ∂(0,1)f =i·∂(1,0)f.
Uberlegen Sie sich, dass dann auch¨ f0 =∂(1,0)f gilt.
A2: Es seiG⊂C ein Gebiet. Zeigen Sie, dass (H(G),+,·) (mit punktweise definierter Addition und Multiplikation) ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement ist.
A3: a) Es seienG⊂Cein Gebiet undg∈H(G). Zeigen Sie: Istf eine Stammfunktion zug in G, so gilt
Z
γ
g=f(b)−f(a) f¨ur alle Wege γin Gmit Anfangspunkt aund Endpunkt b.
b) Es seienk∈Z\ {−1}und g(z) =zk f¨ur z∈C∗ :=C\ {0}. Berechnen Sie R
γg f¨ur alle Wegeγin C∗ mit Anfangspunktaund Endpunkt b.
A4: (Logarithmusreihe) Es sei G:= C\[1,∞) und g(z) := 1/(1−z) f¨ur z ∈ G. ¨Uberlegen Sie sich, dass genau eine Stammfunktionf zug aufGexistiert mitf(0) = 0 und bestimmen Sie die Taylor-Koeffizientenck(f,0) f¨urk∈N.
Hinweis: F¨urz∈Dgiltg(z) =
∞
P
ν=0
zν. Betrachten Sie die gliedweise integrierte Reihe.
![3. Es seien K ein K¨orper der Charakteristik 0 und f ∈ K[t] ein Polynom mit f (t + 1) = f (1)f (t) . Zeigen Sie, dass dann f ≡ 1 oder f ≡ 0 gilt.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)