J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 28.11.2018
5. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A17: Es seien 1≤p <∞undϕ= span{e(k) :k∈N}die Menge der abbrechenden Folgen in CN. Zeigen Sie, dass ϕein dichter Unterraum von `p ist.
A18: a) Es seien (X, d) ein separabler metrischer Raum und M ⊂ X. ¨Uberlegen Sie sich, dass auch (M, d) separabel ist.
b) Es sei X ein normierter Raum. Zeigen Sie: Ist X0 separabel, so ist auch X separabel.
A19: Beweisen Sie:
a) F¨ur y∈`1 ist durch
hx, yi:=
∞
X
j=1
xjyj (x∈`∞)
ein Funktional h·, yi ∈(`∞)0 definiert mit kh·, yik=kyk1.
b) Die Abbildung ι : `1 → (`∞)0 mit ι(y) := h·, yi ist antilinear und isometrisch, aber nicht surjektiv.
c) Sindc⊂`∞der Teilraum der konvergenten Folgen und lim∈c0das Grenzwert- Funktional, so existiert ein x0 ∈B(`∞)0 mit x0|c = lim.
