J. Wengenroth SS 2013
M. Riefer 11.06.2013
Topologie Übungsblatt 7
Abgabe: Dienstag, 18. Juni 2013, vor der Übung in Übungskasten 5
Aufgabe 26
SeienMeine Menge undG⊆M×M. Zeigen Sie, dass R(M)=[
{R⊆M×MÄquivalenzrelation mitG⊆R}
eine Äquivalenzrelation ist, und dass
R(M)={(x,y)∈M×M:∃n∈N0,x0, . . . ,xn∈Mmitx=x0,xn= y und (xk,xk+1)∈G∪G−1für alle 0≤k<n},
wobeiG−1={(y,x)∈M×M: (x,y)∈G}.
Was istR(G) für G = {(x,f(x)) : x ∈ A}mit einer Funktion f : A →M für A⊆M?
Aufgabe 27
Bestimmen Sie für drei topologische RäumeX,Y,Zeine möglichst einfache Bijektion
I :C(XtY,Z)−→C(X,Z)×C(Y,Z),
wobeiC(X,Z) die Menge aller stetigen Abbildungen vonXnachZbezeich- net.
Aufgabe 28
SeienX,Y zwei zusammenhängende topologische Räume, so dassXtX undYtYhomöomorph sind. Zeigen Sie, dassXundYhomöomorph sind.
Finden Sie einen topologischen RaumX , ∅, so dass Xhomöomorph zu XtXist.
Aufgabe 29
SeienX,Ytopologische Räume,x0 ∈ Xund y0 ∈ Yund∼die von{(x0,y0)} erzeugte Äquivalenzrelation inXtYsowieX∨Y=(XtY)/∼. Zeigen Sie, dassX∨YHausdorffbzw. kompakt bzw. zusammenhängend ist, wennX undYbeide diese Eigenschaft haben.
Erhält man für wegzusammenhängende RäumeXundYbei einer anderen Wahl der „Basispunkte“ einen zuX∨Yhomöomorphen Raum?
