Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 06¨ COMPUTERALGEBRA I 03.06.2010
Aufgabe 1: (Sieb des Eratosthenes)
DasSieb des Eratosthenes erzeugt alle Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Zahl n∈N≥2 durch Herausstreichen aller Vielfachen der Zahlen 2,3, . . . ,b√
nc (ausgenommen der Zahl selbst) aus der Liste {2,3, . . . , n}.
(a) Warum bestimmt dieses Verfahren alle Primzahlen von 2 bisn?
(b) Schreiben Sie eine Funktion Eratosthenes, die aus einer Liste {2,3, . . . , n} durch Sieben alle Primzahlen von 2 bisn als Liste ausgibt.
(9 Punkte)
Aufgabe 2: (Einheitengruppe & Primfaktorzerlegung)
(a) Sei Rein kommutativer Ring mit Einselement 1. Zeigen Sie, dass (R×,·) mit R× ={u ∈R | Es gibt ein v ∈R mit u·v = 1}
eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe vonR, bildet.
(b) Seien x = p1e1· · ·perr und y = pf11· · ·pfrr die Primfaktorzerlegungen von x und y, wobei p1, . . . , pr alle Primfaktoren von x und y seien. F¨ur die Exponenten ei, fi (i = 1, . . . , r) gilt ei, fi ∈N≥0. Zeigen Sie, dass dann
gcd(x , y) =pmin(e1 1,f1)· · ·prmin(er,fr) und lcm(x , y) =pmax(e1 1,f1)· · ·pmax(er r,fr).
(9 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 17.06.2010, 08.15 Uhr anmario.albert@gmx.de.
