U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern
Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach
Abgabetermin:30.11.2018 WS 2018/19
— Blatt 5 —
Aufgabe1. (a) Seimeine ganze Zahl mitm≥2. Bestimmen Sie, ob die folgenden Paare (A,◦) Gruppen sind:
(i) (A,◦)=({a·3b∈Q|a,b∈Z},+),
(ii) (A,◦)=({y∈R| y=x2+3x+1 mitx∈R\{0}},·).
(b) Zeigen Sie, dass (N,+), (N0,+), (N,·), (N0,·) und (R,·) keine Gruppen sind.
(c) Sei?:R\{2} ×R\{2} →R\{2}eine Verkn ¨upfung aufR\{2}definiert durch x?y:=xy−2x−2y+6.
Zeigen Sie, dass (R\{2}, ?) eine Gruppe ist. (Hinweis: xy−2x−2y+6=(x−2)(y−2)+2 .)
Aufgabe2. (a) Bestimmen Sie die Untergruppen vonD6.
Hinweis: ¨Uberpr ¨ufen Sie f ¨ur jede Teilmenge vonD6 zuerst ob sie die Identit¨at und f ¨ur jedes Element auch das inverse Element enth¨alt.
(b) Wir betrachten nun die GruppeD8aller Symmetrien eines Quadrats. Diese Gruppe besteht aus 8 Elementen: der Identit¨atIdD8(oder die Drehung um 0◦), den Drehungen um 90◦, 180◦ und 270◦ und den 4 Spiegelungens1,s2,s3,s4 an den eingezeichneten Achsen.
Bestimmen Sie ob die folgenden Teilmengen Untergruppen derD8sind.
(i) U={IdD8, Drehung um 90◦, Drehung um 180◦, Drehung um 270◦}, (ii) V={IdD8,s1,s2,s3,s4}.
Aufgabe3.
Bezeichne+die gew ¨ohnliche Addition inR3definiert durch (x,y,z)+(x0,y0,z0)=(x+x0,y+y0,z+z0).
Es seien E = {(x,y,z)|x+y+z = 0} eine Teilmenge vonR3 und f : E → R3, (x,y,z) 7→
(x,3x+z,2x−y) eine Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dassEeine Untergruppe vonR3ist.
(b) Zeigen Sie, dass f ein Gruppen-Homomorphismus ist.
(c) Bestimmen Sie ker(f).
(d) Ist f injektiv?
Aufgabe4.
Sei (G,◦) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass:
(a) (K ¨urzungsregel): F ¨ur allex,a,b∈Ggilt:
x◦a=x◦b⇔a=b, und analog a◦x=b◦x⇔a=b.
(b) (a−1)−1=a,∀a∈G.
(c) (a◦b)−1 =b−1◦a−1,∀a,b∈G.
Die Bearbeitung der folgenden Aufgabe ist optional. Durch die Bearbeitung k ¨onnen Sie Bonuspunkte erhalten.
Aufgabe5 (Bonus). (a) Zeigen Sie Lemma 3.1.7 (Untergruppenkriterium) aus der Vor- lesung.
(b) Zeigen Sie (b), (c), (d), (f), (g) von Lemma 3.1.12 aus der Vorlesung.
