1 Das Sieb des Eratosthenes

Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Yasin Hamdan

Inhaltsverzeichnis

1 Das Sieb des Eratosthenes 1

2 Primfaktorzerlegung 4

2.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . 4 2.2 Hasse-Diagramme . . . 6

3 Die Primzahlfunktion 10

3.1 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion . . . 10 3.2 Eine Formel für die Primzahlfunktion . . . 14 Als Grundlage für diese Seminararbeit diente ein Auszug aus Zahlentheorie von Scheid und Frommer [5, S.5-19]. Für den Beweis des Prinzips der Inklusion und Exklusion habe ich Stochastik für Einsteiger von Henze [2, S. 41 f., S.73-75] verwendet.

1 Das Sieb des Eratosthenes

Denition 1: Besitzt eine natürliche Zahl genau zwei Teiler, so heiÿt sie Primzahl.

Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler besitzt, nennt man zusammengesetzt.

Lemma 1: Der kleinste Teilert >1einer natürlichen Zahln >1ist stets eine Primzahl.

Beweis: Wäre t keine Primzahl, so gäbe es ein s ∈ N mit 1 < s < t und s|t. Wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation (Seite 6) folgt s|n mit s < t, und somit ein Widerspruch zur Annahme, dass t der kleinste Teiler vonn ist. Also war die Annahme, der kleinste Teilert >1 einer natürlichen Zahl n >1sei keine Primzahl, falsch.

Mithilfe von Lemma 1 kann man leicht die Existenz unendlich vieler Primzahlen bewei- sen. Sei {p₁, ..., p_r} eine endliche Menge von Primzahlen und n = p₁ ·...·p_r+ 1. Nach Lemma 1 besitzt n einen Primteiler p. Dieser kann nicht in der Menge {p₁, ..., p_r} ent- halten sein, da sonst p|1 folgen würde. Also kann eine endliche Menge von Primzahlen niemals alle Primzahlen enthalten.

Satz 1: Ist a eine zusammengesetzte Zahl, so gibt es eine Primzahl p≤√

a mit p|a. Beweis: Nach Lemma 1 ist der kleinste Teiler von aeine Primzahl p. Wegen der De- nition der Teilbarkeit gibt es eine natürliche Zahl k mit a = k·p ⇔ k = ^a_p. Also ist ^a_p eine natürliche Zahl und es gilt a = ^a_p ·p, also auch ^a_p|a. Da p der kleinste Teiler von n ist, folgt

p≤ a

p ⇐⇒p² ≤a⇐⇒p≤√

a.

Aus Satz 1 lässt sich folgendes Verfahren zur Bestimmung aller Primzahlen ≤ N für eine natürliche ZahlN ableiten:

1. Schreibe alle natürlichen Zahlen n mit 2≤n≤N auf.

2. Markiere 2und streiche nun jede zweite Zahl, also alle Vielfachen von 2.

3. Markiere nun die kleinste Zahlp, die nicht markiert und nicht gestrichen ist. Strei- che nun jedep-te Zahl aus {p+ 1, p+ 2, ..., N}, also alle Vielfachen von p.

4. Führe 3. für allep≤√

N durch. Ist p >√

N stoppe das Verfahren.

Dieses Verfahren nennt man das Sieb des Eratosthenes.

a) Ist n eine Primzahl, so ist n nicht gestrichen. Denn istn eine gestrichene Zahl, so ist n zusammengesetzt.

b) Istn nicht gestrichen, so istn durch keine nicht gestrichene Zahl≤√

N teilbar. Also istn wegen a) auch durch keine Primzahl ≤√

N teilbar. Wegen √ n ≤√

N und Satz 1 folgt, dassn eine Primzahl ist.

Insgesamt ergibt sich aus a) und b): n ist genau dann eine Primzahl, wenn n im Sieb des Eratosthenes nicht gestrichen ist.

In der folgenden Tabelle wurden alle Primzahlen bis 43ausgesiebt:

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

An diesem Beispiel sieht man auch leicht, dass alle Primzahlen ≥ 5 Vorgänger oder Nachfolger von Vielfachen von 6sind.

Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, die beide Primzahlen sind, bilden einen Primzahlzwilling. Indem man im Sieb des Eratosthenes in Schritt 3 nicht nur al- le Vielfachen von p streicht, sondern auch stets die übernächste Zahl eines Vielfachen kennzeichnet (also alle Zahlen n mit n ≡ 2 mod p), kann man alle Primzahlzwillinge

≤N ermitteln. Denn istz nicht gestrichen und nicht gekennzeichnet, so istz eine Prim- zahl und z−2wurde nicht gestrichen. Also ist auch z−2 eine Primzahl und somit das Paar(z−2, z)ein Primzahlzwilling.

Wie man der folgenden Tabelle entnimmt, sind die Primzahlzwillinge ≤ 48 die Paare (3,5), (5,7), (11,13), (29,31) und (41,43). Die Existenz unendlich vieler Primzahlzwil- linge ist eine bislang unbewiesene Vermutung.

2 3 4 5 A6A 7 A8A 9 ^Z10Z Z11Z ^Z12 13_Z ^Z14_Z 15 ^Z16_Z ^Z17_Z ^Z18 19_Z ^Z20_Z

21 Z22Z ^Z23Z Z24Z 25 Z26Z ^Z27Z Z28Z ^Z29Z Z30Z

31 Z32Z 33 Z34Z ^Z35Z Z36Z ^Z37Z Z38Z 39 Z40Z Z41Z ^Z42 43_Z ^Z44_Z 45 ^Z46_Z ^Z47_Z ^Z48_Z

Von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist immer eine ein Vielfaches von 3. Denn sei n∈N. Dann gilt

2n+ 1∈[0]₃ ⇒3|2n+ 1 2n+ 1∈[1]₃ ⇒2n+ 3∈[0]₃ ⇒3|2n+ 3 2n+ 1∈[2]₃ ⇒2n+ 5∈[0]₃ ⇒3|2n+ 5

Also gibt es auÿer(3,5,7)keine drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen, die Prim- zahlen sind.

Deshalb bezeichnet man drei Primzahlen der Form (2n + 1,2n+ 3,2n + 7) als Prim- zahldrilling und vier Primzahlen der Form(2n+ 1,2n+ 3,2n+ 7,2n+ 9) als Primzahl- vierling. So sind (5,7,11) und (41,43,47) Primzahldrillinge und (11,13,17,19) ist ein Primzahlvierling.

Der kleinste Abstand, den zwei Primzahlen haben können, beträgt2. Es gibt allerdings auch beliebig groÿe Primzahllücken [vgl. 1, S.9].

Zu jeder natürlichen Zahln gibt esn aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen.

Sei P das Produkt aller Primzahlen≤n+ 1. Dann ist keine der n Zahlen P + 2, P + 3, ..., P +n+ 1

eine Primzahl. Denn jedesk mit 2≤k ≤n+ 1 besitzt nach Lemma 1 einen Primteiler q mit q≤k ≤n+ 1. Also gilt auch q|P und somit q|P +k.

Andererseits kann man zeigen, dass es für eine natürliche Zahln ≥3stets eine Primzahl pgibt mit n < p < n![vgl. 3, S.49].

Nach Lemma 1 besitztn!−1einen Primteilerp. Es giltp-n!, da sonstp|1folgen würde.

Für alle Primzahlen q ≤ n gilt aber q|n!. Also folgt p > n. Mit p ≤ n!−1 < n! folgt insgesamtn < p < n!.

Tatsächlich gilt nach einen Satz von Tschebyschef die wesentlich stärkere Aussage, dass es fürn≥1 stets eine Primzahl pgibt mit n < p≤2n.

2 Primfaktorzerlegung

2.1 Existenz und Eindeutigkeit

Als Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n bezeichnet man eine Darstellung von n als Produkt von Primzahlen, also n = p1 ·...·pr für Primzahlen p1, ..., pr. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktor- zerlegung besitzt.

Bemerkung 1: Jede Primzahl besitzt die eindeutige Primfaktorzerlegung, die nur aus der Primzahl selbst besteht.

Satz 2 (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie): Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist diese Darstellung eindeutig.

Beweis: Der Satz wird durch vollständige Induktion über n bewiesen.

Da2eine Primzahl ist, besitzt2nach Bemerkung 1 eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

Für einn ≥2 habe nun jede natürliche Zahl k mit 2≤ k ≤n eine eindeutige Primfak- torzerlegung.

Istn+ 1eine Primzahl, so besitztn+ 1wegen Bemerkung 1 eine eindeutige Primfaktor- zerlegung. Istn+ 1eine zusammengesetzte Zahl, so ist der kleinste Teiler vonn+ 1nach Lemma 1 eine Primzahl p und es gibt ein R ∈ N mit n+ 1 = p·R. Wegen p ≥ 2 und n≥2 ⇔2n ≥n+2gilt2·R ≤p·R =n+1< n+2≤2·n. Da somit2≤R ≤ngilt, be- sitztRnach Induktionsvoraussetzung eine eindeutige PrimfaktorzerlegungR=p₁·...·p_r. Also hatn+ 1 die Primfaktorzerlegung n+ 1 =p·R=p·p₁·...·p_r.

Es bleibt zu zeigen, dass die Primfaktorzerlegung von n+ 1 eindeutig ist. Besitztn+ 1 eine von p·p₁·...·p_r verschiedene Primfaktorzerlegung n+ 1 =q·q₁ ·...·q_s, so kann diese den Faktor p nicht enthalten. Denn angenommen einer der Faktoren q, q1, ..., qs

wäre gleich p, o.B.d.A. q =p. Dann wäre ⁿ⁺¹_p =q₁·...·q_s=R =p₁·...·p_r. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von R (Induktionsvoraussetzung) würde folgen {q₁, ..., q_s} = {p₁, ..., p_r}. Also wäre q·q₁ ·...·q_s keine von p·p₁ ·...·p_r verschiedene Primfaktorzerlegung.

Sei nunq·q₁·...·q_s eine von p·p₁·...·p_r verschiedene Primfaktorzerlegung von n+ 1. Dann gilt p6=q und p 6=q_i für alle i ∈ {1, ..., s}. Wegen der Wahl von pgilt p < q. Sei S:=q₁·...·q_s. Die Zahl

k=n+ 1−p·S =q·S−p·S = (q−p)·S

ist kleiner alsn+ 1. Auÿerdem gilt k =n+ 1−p·S =p·R−p·S =p·(R−S). In der Primfaktorzerlegung von k kommt also der Faktor p vor. Da er nicht in S vorkommt, muss er inp−q vorkommen. Also giltp|p−q. Wegenp|pfolgt somit p|q. Dies ist wegen p < q und p, q Primzahlen unmöglich. Also war die Annahme, n + 1 besitze mehr als eine Primfaktorzerlegung falsch. Damit ist die Behauptung nach dem Prinzip der

vollständigen Induktion bewiesen.

Satz 3 (Primzahlkriterium): Eine natürliche Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle a, b∈N gilt

p|a·b =⇒ p|a∨p|b.

Beweis: Sei p eine Primzahl mit p|a·b. Angenommen p - a und p - b. Dann kommt p weder in der Primfaktorzerlegung von a vor, noch in jener von b, denn sonst würde p|a oder p|b folgen. Also kommt p nicht in der Primfaktorzerlegung von a·b vor, denn diese ist nach Satz 2 durch die Primfaktoren von a und b eindeutig bestimmt. Dies ist ein Widerspruch zur Annahmep|a·b.

Ist p umgekehrt eine zusammengesetzte Zahl, gibt es k, l ∈ N mit 1 < k, l < p und p=k·l und es gilt p|k·l=p, aber p-k und p-l.

Ordnet man die Faktoren der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n der Gröÿe nach und fasst gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen, erhält man die kanonische Form der Primfaktorzerlegung

n=

∞

Y

i=1

p^α_iⁱ.

Wobeiα_i ∈N für allei≥1und α_i = 0 für fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele)igilt.

Auÿerdem istp_i die i-te Primzahl, also p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, .... Satz 4 (Teilbarkeitskriterium): Es seia=Q∞

i=1pⁿ_iⁱundb=Q∞

i=1p^m_i ⁱ mitn_i, m_i ∈N für alle i≥1 und n_i =m_i = 0 für fast alle i. Dann gilt

a|b ⇐⇒ n_i ≤m_i ∀i∈N.

Beweis: Es geltea|b. Dann gibt es eink ∈Nmit b=k·a. Wegen Satz 2 besitztk eine eindeutige Primfaktorzerlegung k=Q∞

i=1p^r_iⁱ mit ri ∈N und ri = 0 für fast alle i. Also b=

∞

Y

i=1

p^m_i ⁱ =

∞

Y

i=1

p^r_iⁱ ·

∞

Y

i=1

pⁿ_iⁱ =

∞

Y

i=1

pⁿ_i^i+ri.

Alsom_i =n_i+r_i ≥n_i für alle i∈N.

Es gelte nun umgekehrtm_i ≥n_i für alle i ∈N. Dann gibt es für alle i∈ N ein r_i ∈N, sodassn_i+r_i =m_i gilt. Mit k :=Q∞

i=1p^r_iⁱ ergibt sich b=

∞

Y

i=1

p^m_i ⁱ =

∞

Y

i=1

pⁿ_i^i+ri =

∞

Y

i=1

p^r_iⁱ ·

∞

Y

i=1

pⁿ_iⁱ =k·a.

und somit a|b.

Bemerkung 2: Aus dem Teilbarkeitskriterium folgt unmittelbar: Die Teilermengeτ(a) einer natürlichen Zahl a = pⁿ₁¹ ·...·pⁿ_r^r besteht also aus allen Zahlen t = p^α₁¹ ·...·p^α_r^r mit 0 ≤ α_i ≤ n_i für alle i ∈ {1, ..., r}. Für jeden Exponenten α_i gibt es die n_i + 1 Möglichkeiten 0,1, ..., n_i. Also folgt |τ(a)|= (n₁+ 1)·...·(n_r+ 1) [vgl. 3, S.65-67].

2.2 Hasse-Diagramme

Eine Relation R auf einer Menge M nennt man Ordnungsrelation, wenn sie reexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Eine Ordnungsrelation kann man in einem Hasse- Diagramm darstellen. Dies ist die vereinfachte Form eines Relationsdiagramms, das die Elemente einer Menge durch Knoten und die Elemente der Relation durch Pfeile zwischen den Knoten darstellt [vgl. 3, S.29f., 6770].

Da wegen der Reexivität jeder Knoten einen Ringpfeil besitzt, kann man alle Ringpfeile weglassen. Gilt (a, b)∈R und gibt es ein c∈ M mit (a, c),(c, b)∈R, so kann man den Pfeil von a nach b weglassen, da R transitiv ist. Ordnet man für (a, b) ∈ R und a 6= b immerbüberaan, kann man die Pfeilspitzen weglassen, da aufgrund der Antisymmetrie stets (b, a)∈/ R folgt.

Beispiel 1: In Abbildung 1 ist die Relation ⊆ auf der Potenzmenge der Menge{a, b, c}

in einem Hasse-Diagramm dargestellt.

Die Teilbarkeitsrelation auf N ist (1) reexiv, (2) transitiv und (3) antisymmetrisch.

Denn für allea, b, c∈N gilt 1. a= 1·a ⇒ a|a.

2. a|b ∧ b|c ⇒ ∃ k, l∈N: b=k·a ∧ c=l·b ⇒ c=l·(k·a) = (l·k)·a ⇒ a|c.

3. a|b ∧ b|a ⇒ ∃k, l∈N: b =k·a ∧ a=l·b ⇒ a=l·(k·a) ⇔ a= (l·k)·a

⇒ l·k = 1. Wegen l·k = 1 6= 0 folgt l 6= 0∧k 6= 0. Angenommen l > 1. Dann würde mit 1 = l·k > 1·k = k ein Widerspruch zu k ∈ N^∗ folgen. Also war die Annahme falsch und es folgtl =k = 1 und somit a=b.

Abbildung 1:

Abbildung 2:

Also lässt sich die Teilbarkeitsrelation auf einer endlichen Teilmenge von N in einem Hasse-Diagramm darstellen.

Beispiel 2: In Abbildung 2 ist die Teilbarkeitsrelation auf der Teilermenge von 45 in einem Hasse-Diagramm dargestellt.

Besteht die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl a aus ein, zwei oder drei Prim- zahlpotenzen, so lässt sich das Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation auf τ(a) leicht mithilfe der Primärteiler von a konstruieren.

Abbildung 3:

Ist a = pⁿ·q^m für Primzahlen p, q und m, n ∈ N^∗, dann ist Abbildung 3 das Hasse- Diagramm der Teilbarkeitsrelation auf τ(a).

Denn wegen Bemerkung 2 kommen im Diagramm alle Teiler vona vor.

Seien im Folgenden x, y, z ∈ τ(a). Von x geht höchstens ein Pfeil zu p·x (obere linke Zahl von x) und ein Pfeil zu q·x (obere rechte Zahl von x).

Da sich Zahlen, die in der selben Zeile stehen von links nach rechts um den Faktor ^q_p unterscheiden, besteht zwischen ihnen die Teilbarkeitsrelation nicht.

Alle Vielfache von x = p^r ·q^s (r, s ∈ N) sind über einen aufsteigenden Weg über die Kanten des Diagramms zu erreichen. Denn für alle y mit x|y gilt wegen Bemerkung 2 y = pⁱ · q^j (i, j ∈ N) mit r ≤ i ≤ n und s ≤ j ≤ m. Also gibt es t, u ∈ N, sodass y= pⁱ ·q^j =p^r+t·q^s+u = p^t·q^u·x. Man erreicht y also, indem man den Kanten t-mal nach links und u-mal nach rechts oben folgt.

Abbildung 4:

Ist a das Produkt zweier Primzahlpotenzen, lässt sich das Hasse-Diagramm also aus Quadraten zusammensetzen. Analog sieht man, dass sich das Hasse-Diagramm, wenna das Produkt dreier Primzahlpotenzen ist, aus Würfeln zusammensetzen lässt (Abbil- dung 4 ). Für eine Primzahlpotenz pⁿ ist das Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation auf τ(a) entsprechend durch Abbildung 5 gegeben. Die kleinste natürliche Zahl, für die das Verfahren nicht mehr funktioniert ist 210 = 2 ·3·5·7. Für Zahlen, die sich aus vier Primzahlpotenzen zusammensetzen, kann man das Hasse-Diagramm allerdings wie in Abbildung 6 durch mehrere Quader konstruieren.

Abbildung 5:

Abbildung 6:

3 Die Primzahlfunktion

Denition 2 (Primzahlfunktion): Es sei N ∈N. Dann bezeichnet π(N) die Anzahl der Primzahlen ≤N.

In diesem Abschnitt wird eine Formel für π(N) vorgestellt. Für den Beweis benötigt man allerdings ein Resultat über die Mächtigkeit der Vereinigung endlicher Mengen, das Prinzip der Inklusion und Exklusion.

3.1 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Bemerkung 3: Sind A und B endliche Mengen, so gilt

A∪B = (A\B)∪(B\A)∪(A∩B).

Sei A^∗ :⇔x∈A, B^∗ :⇔x∈B und E^∗ :⇔(A^∗∧ ¬B^∗)∨(B^∗∧ ¬A^∗)∨(A^∗∧B^∗). A^∗ B^∗ A^∗∧ ¬B^∗ B^∗∧ ¬A^∗ A^∗ ∧B^∗ A^∗ ∨B^∗ E^∗

w w f f w w w

w f w f f w w

f w f w f w w

f f f f f f f

SeiE :={x|E^∗}= (A\B)∪(B\A)∪(A∩B). Man sieht anhand der Wahrheitstabelle, dass x ∈ A∪B ⇔ x ∈ E, also A∪B = E. Auÿerdem sind A\B, B \A und A∩B disjunkt.

Bemerkung 4: Die Notation

X

1≤i1<...<ir≤n

s_i1,...,ir

bezeichnet die Summation über aller-elementigen Teilmengen {i₁, ..., i_r} von {1, ..., n}. (Die Menge M = {{i₁, ..., i_r}|1 ≤ i₁ < ... < i_r ≤ n} ist gleich der Menge aller r- elementigen Teilmengen von{1, ..., n}. Denn ist X ={j₁, ..., j_r}irgendeine r-elementige Teilmenge von{1, ..., n}, so lässt sich wegen des Wohlordnungsprinzips annehmen, dass 1≤j₁ < ... < j_r ≤nist, alsoX ∈M.. Umgekehrt ist jede Menge{i₁, ..., i_r} ∈M immer eine r-elementige Teilmenge von {1, ..., n}.)

Lemma 2 (Prinzip der Inklusion und Exklusion): Seien A₁, ..., A_n (n ≥2)endli- che Mengen. Für jede natürliche Zahl r mit 1≥r≥n sei

S_rⁿ:= X

1≤i1<...<ir≤n

|A_i1 ∩...∩A_ir|. (1)

Dann gilt

n

[

j=1

A_j

=

n

X

r=1

(−1)^r−1·S_rⁿ.

Beweis: Induktionsanfang: Wegen Bemerkung 3 und|A∪B|=|A|+|B| für endliche disjunkte Mengen A und B folgt

2

[

j=1

Aj

=|A1∪A2|=|(A1\A2)∪(A2\A1)∪(A1∩A2)|

=|A1\A2|+|A2\A1|+|A1∩A2|. (2) Wegen A₁ = (A₁ \ A₂)∪ (A₁ ∩ A₂) mit A₁ \A₂ und A₁ ∩A₂ disjunkt folgt |A₁| =

|A₁\A₂|+|A₁∩A₂|. Analog folgt|A₂|=|A₂\A₁|+|A₂∩A₁|. Umstellen nach A₁\A₂ bzw. A₂\A₁ und Einsetzen in (2) ergibt

|A₁∪A₂|=|A₁|+|A₂| − |A₁∩A₂|

= X

1≤i1≤2

|A_i1| − X

1≤i1<i2≤2

|A_i1 ∩A_i2|

= (−1)¹⁻¹·S₁²−(−1)²⁻¹·S₂² =

2

X

r=1

(−1)^r−1·S_r².

Induktionsvoraussetzung: Die Formel der Inklusion und Exklusion sei nun wahr für ein beliebiges, im folgenden aber festes n∈N.

Induktionsschluss: Aufgrund der Gültigkeit der Formel fürn= 2und der Distributivität des Durchschnitts bezüglich der Vereinigung von endlichen Mengen folgt

n+1

[

j=1

A_j

=

n

[

j=1

A_J ∪A_n+1

=

n

[

j=1

A_j

+|A_n+1| −

n

[

j=1

A_j

!

∩A_n+1

=

n

[

j=1

Aj

+|An+1| −

n

[

j=1

Aj∩An+1

Durch Anwenden der Induktionsvoraussetzung folgt schlieÿlich

n+1

[

j=1

A_j

=

n

X

r=1

(−1)^r−1·S_rⁿ

!

+|A_n+1| −

n

X

m=1

(−1)^m−1·S_m^∗

!

(3)

mit S_rⁿ wie unter (1) und

S_m^∗ : = X

1≤i1<...<im≤n

|(Ai1 ∩An+1)∩...∩(Aim ∩An+1)|

= X

1≤i₁<...<im≤n

|A_i1 ∩...∩A_im∩A_n+1|.

Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen der Assoziativität und Kommutativität des Durchschnitts endlicher Mengen undA_n+1∩A_n+1 =A_n+1.

Mit der Indexverschiebungm =r−1erhält man

n

X

m=1

(−1)^m−1 ·S_m^∗ =−

n

X

m=1

(−1)^m·S_m^∗ =−

n

X

r=2

(−1)^r−1·S_r−1^∗

!

−(−1)ⁿ·S_n^∗

Durch ein Einsetzen in (3) ergibt sich

n+1

[

j=1

A_j

=

n

X

r=1

(−1)^r−1 ·S_rⁿ

!

+|A_n+1| − −

n

X

r=2

(−1)^r−1·S_r−1^∗

!

−(−1)ⁿ·S_n^∗

!

=S₁ⁿ+

n

X

r=2

(−1)^r−1·S_rⁿ

!

+|A_n+1|+

n

X

r=2

(−1)^r−1·S_r−1^∗

!

+ (−1)ⁿ·S_n^∗

=S₁ⁿ+|A_n+1|+

n

X

r=2

(−1)^r−1·(S_rⁿ+S_r−1^∗ )

!

+ (−1)ⁿ·S_n^∗. (4)

Es gilt

S₁ⁿ+|A_n+1|= X

1≤i1≤n

|A_i1|+|A_n+1|= X

1≤i1≤n+1

|A_i1|=S₁ⁿ⁺¹ (5)

und

S_n^∗ = X

1≤i1<...<in≤n

|Ai1 ∩...∩Ain∩An+1|=|A1∩...∩An∩An+1|

= X

1≤i₁<...<in+1≤n+1

|A_i1 ∩...∩A_in+1|=S_n+1ⁿ⁺¹. (6)

Sei nun

X :={{i₁, ..., i_r}|1≤i₁ < ... < i_r ≤n},

Y :={{i₁, ..., i_r−1} ∪ {n+ 1}|1≤i₁ < ... < i_r−1 ≤n}

Z :={{i1, ..., ir}|1≤i1 < ... < ir ≤n+ 1}

Dann gilt

X∪Y =Z.

Denn einer-elementige Teilmenge von{1, ..., n}ist auch einer-elementige Teilmenge von {1, ..., n+ 1} und eine (r−1)-elementige Teilmenge von{1, ..., n} vereinigt mit {n+ 1}

ist einer-elementige Teilmenge von{1, ..., n+ 1}. Also gilt T ∈X∨T ∈Y ⇒T ∈Z.

Sei umgekehrtT ∈Z, alsoT einer-elementige Teilmenge von{1, ..., n+1}. Istn+1∈T, so istT \ {n+ 1} eine (r−1)-elementige Teilmenge von {1, ..., n}und somit T ∈Y. Ist andererseits n+ 1 ∈/ T, so ist T eine r-elementige Teilmenge von {1, ..., n} und somit T ∈X. Also gilt auchT ∈Z ⇒T ∈X∨T ∈Y und insgesamtT ∈X∨T ∈Y ⇔T ∈Z. Daher folgt aufgrund von Bemerkung 4

S_rⁿ+S_r−1^∗ = X

1≤<i1...<ir≤n

|A_i1 ∩...∩A_ir|+ X

1≤<i1<...<ir−1≤n

|A_i1 ∩...∩A_r−1∩A_in+1|

= X

1≤<i1...<ir≤n+1

|A_i1 ∩...∩A_ir|=S_rⁿ⁺¹ (7)

mit 2≤r ≤n.

Einsetzen von (5), (6) und (7) in (4) ergibt

n+1

[

j=1

A_j

= (−1)¹⁻¹·S₁ⁿ⁺¹+

n

X

r=2

(−1)^r−1·S_rⁿ⁺¹

!

+ (−1)^(n+1)−1·S_n+1ⁿ⁺¹

=

n+1

X

r=1

(−1)^r−1·S_rⁿ⁺¹.

Somit ist die Formel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.

3.2 Eine Formel für die Primzahlfunktion

Der erste ernstzunehmende Versuch,π(N)zu bestimmen, ist der folgende Satz, der 1808 von Legendre bewiesen wurde [vgl. 4, S.159].

Satz 5: Es sei P das Produkt aller Primzahlen ≤ √

N und ω(n) die Anzahl verschie- dener Primteiler von n ∈ N. Mit [x] wird die gröÿte ganze Zahl ≤ x bezeichnet. Dann gilt

π(N) =π(√

N)−1 +X

d|P

(−1)^ω(d)· N

d

(Summation über alle Teilerd von P).

Beweis: Seienp₁, ..., p_s die Primzahlen ≤√

N und für i∈ {1, ..., s} sei A_i :={n∈N|2≤n≤N und p_i|n}

und A:={n∈N|2≤n≤N und p₁|n∨...∨p_s|n},

alsoA=A₁∪...∪A_s. Wegen Satz 1 und der Reexivität der Teilbarkeitsrelation besteht die Menge A aus allen zusammengesetzten Zahlen ≤ N und allen Primzahlen ≤ √

N. Also ist |A| −π(√

N) die Anzahl der zusammengesetzten Zahlen ≤N und somit N =|A| −π(√

N) +π(N) + 1

⇐⇒π(N) = π(√

N)−1 +N − |A|. (1)

Nach Lemma 2 gilt

|A|=|A₁∪...∪A_s|=

s

X

r=1

(−1)^r−1· X

1≤i₁<...<ir≤s

|A_i1 ∩...∩A_ir|

! .

Die Menge aller gemeinsamen Vielfachen≤N von p_i1, ..., p_ir ist gegeben durch Ai1 ∩...∩Air ={n∈N|2≤n≤N und (pi1|n∧...∧pir|n)}.

Ausp_i1|n∧...∧p_ir|n folgt wegen des Teilbarkeitskriteriums, dass p_i1, ..., p_ir in der Prim- faktorzerlegung vonn vorkommt. Dapi1, ..., pir paarweise verschiedene Primzahlen sind, kommt also auchp_i1·...·p_ir in der Primfaktorzerlegung vonnvor. Also sind die gemein- samen Vielfachen von p_i1, ..., p_ir auch Vielfache von p_i1 ·...·p_ir.

Die gemeinsamen Vielfachen ≤ N von p_i1, ..., p_ir sind somit enthalten in der Menge M ={1·(p_i1 ·...·p_ir), ..., k·(p_i1 ·...·p_ir)}, wobeik die gröÿte ganze Zahl ist mit

k·p_i1 ·...·p_ir ≤N ⇐⇒ k ≤ N pi1·...·pir

.

Also ist nach obiger Denition

k =

N p_i1 ·...·p_ir

.

Die MengeM ist tatsächlich die Menge aller gemeinsamen Vielfachen≤N vonp_i1, ..., p_ir. Denn wegen der Wahl vonk gilt für allem∈Nmitm > k, dass m·pi1·...·pir > N, also m·p_i1·...·p_ir ∈/ A_i1∩...∩A_ir. Umgekehrt ist klar, dass alle Elemente vonM gemeinsame Vielfache vonp_i1, ..., p_ir sind. Also insgesamt M =A_i1 ∩...∩A_ir.

Wegenk =|M|=|A_i1 ∩...∩A_ir| folgt

|A_i1 ∩...∩A_ir|=

N pi1 ·...·pir

und somit

|A|=

s

X

r=1

(−1)^r−1· X

1≤i1<...<ir≤s

N pi1·...·pir

! .

Wegen des Teilbarkeitskriteriums haben alle Teiler vonP =p1·...·psdie Formpi1·...·pir

mit 1≤r ≤s, wobei i₁, ..., i_r eine r-elementige Teilmenge von{1, ..., s}ist.

Somit entsprichtP

1≤i₁<...<ir≤s

h N pi1·...·p_ir

i der Summe über alle Teilerd=p_i1·...·p_ir von P, die sich ausr Primzahlen zusammensetzen, alsor=ω(d). Die Summation über aller mit1≤r ≤s ergibt dann die Summe über alle Teiler d von P, die sich aus Primzahlen zusammensetzen. Da auch 1ein Teiler von P ist,ω(1) = 0und _N

1

=N ergibt sich

|A|=

s

X

r=1

X

1≤i₁<...<ir≤s

(−1)^r−1·

N p_i1 ·...·p_ir

!

=



 X

d|P

(−1)^ω(d)−1· N

d



+N.

Durch einsetzen in (1) folgt

π(N) =π(√

N)−1 +N − |A|

=π(√

N)−1 +N −



 X

d|P

(−1)^ω(d)−1· N

d



−N

=π(√

N)−1 +X

d|P

(−1)^ω(d)· N

d

und somit die Behauptung.

Für die Teilermenge von P gilt wegen der Wahl vonP und Bemerkung 2

|τ(P)|= (1 + 1)·...·(1 + 1)

| {z }

π(√ N)-mal

= 2^π(

√ N).

In der Formel von Legendre würden demnach für N = 10⁶ bereits

2^π(1000) = 2¹⁶⁸>16⁴⁰>10⁴⁰ Summanden auftreten. Für die praktische Berechnung von π(N) eignet sich die Formel also nicht.

Beispiel 3: FürN = 120 ist P = 2·3·5·7 = 210, da 7≤√

120<11. Also gilt π(120) =π(√

120)−1 + 120

1

− 120

2

− 120

3

− 120

5

− 120

7

+ 120

2·3

+ 120

2·5

+ 120

2·7

+ 120

3·5

+ 120

3·7

+ 120

5·7

−

120 2·3·5

−

120 2·3·7

−

120 2·5·7

−

120 3·5·7

+

120 2·3·5·7

= 4−1 + 120−60−40−24−17 + 120

6

+ 120

10

+ 120

14

+ 120

15

+ 120

21

+ 120

35

− 120

30

− 120

42

− 120

70

− 120

105

+ 120

210

=−18 + 20 + 12 + 8 + 8 + 5 + 3−4−2−1−1 + 0 = 56−26 = 30.

Literatur

[1] Martin Aigner, Günter M Ziegler und Karl H Hofmann. Das BUCH der Beweise.

Springer, 2010.

[2] Norbert Henze. Stochastik für Einsteiger. Vieweg, 1997.

[3] Friedhelm Padberg. Elementare Zahlentheorie. Spektrum, 2008.

[4] Paulo Ribenboim. The book of prime number records. Springer, 1989.

[5] Harald Scheid und Andreas Frommer. Zahlentheorie. Wissenschaftsverlag Zürich, 1991.