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Man zeige: a) Ist n ∈ N, n &gt

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TU CLAUSTHAL

INSTITUT F ¨UR MATHEMATIK

Prof. Dr. W. Klotz HH

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A A A A

A A

B B B

BB Lineare Algebra I WS 1999/2000 Ubungsblatt 1¨ Ubung vom 28.10.99¨ Bitte besch¨aftigen Sie sich bis zur ¨Ubung mit folgenden Aufgaben. Machen Sie sich die Begriffe und die Notation klar, suchen Sie Beispiele und versuchen Sie, die gefragten Beweise zu f¨uhren. Die Aufgaben werden in der ¨Ubung besprochen; L¨osungen sind nicht abzugeben.

1. Man definiert die Teilbarkeit ganzer Zahlen durch a|b⇔ ∃x(x∈Z∧b =ax).

Man zeige:

a) a|b∧b|a⇒b=±a, b) a|b∧b|c⇒a|c,

c) a|b∧a|c⇒ ∀x, y ∈Z: (a|xb+yc).

2. Bekanntlich nennt man eine nat¨urliche Zahl p >1 eine Primzahl, wenn ihre positiven Teiler nur die trivialen Teiler 1 und p sind. Man zeige:

a) Ist n ∈ N, n > 1 und a ∈ N der kleinste Teiler vonn, der gr¨oßer als 1 ist, dann ist a eine Primzahl.

b) Jede nat¨urliche Zahl n >1 ist Produkt von Primzahlen.

3. Sind a, b∈N, b6= 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈N0 =N∪ {0} mit

a=qb+r, 0≤r < b.

Wir nennen diese Darstellung die Euklidische Zerlegung von a bzgl. b. Dabei ist r der Rest der Division von a durch b. Man bilde folgendes Schema Euklidischer Zerlegungen:

a = q b + r, 0≤r < b

b = q1 r + r1, 0≤r1 < r r = q2 r1 + r2, 0≤r2 < r1

. . . . rn−2 = qn rn−1 + rn, 0≤rn < rn−1 rn−1 = qn+1 rn.

Man zeige:

a) Das Schema endet mit einem letzten nichtverschwindenden Rest rn. b) Es gibt ganze Zahlen x, y mit rn=xa+yb.

c) Es ist rn der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und b, in Zeichen: rn=ggT(a, b).

Man nennt das skizzierte Verfahren zur Bestimmung von ggT(a, b) den Euklidischen Al- gorithmus.

4. Man beweise:

a) a|bc∧ggT(a, b) = 1⇒a|c.

b) Die Darstellung einer nat¨urlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

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