Handout - Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Handout - Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Yasin Hamdan 19.04.2018 1. Das Sieb des Eratosthenes

Denition 1: Besitzt eine natürliche Zahl genau zwei Teiler, so heiÿt sie Primzahl.

Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler besitzt, nennt man zusammengesetzt.

Lemma 1: Der kleinste Teilert >1einer natürlichen Zahln >1ist stets eine Primzahl.

Satz 1: Ist a eine zusammengesetzte Zahl, so gibt es eine Primzahl p≤√

a mit p|a.

2. Primfaktorzerlegung

Als Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n bezeichnet man eine Darstellung von n als Produkt von Primzahlen, also n =p1·...·pr für Primzahlen p1, ..., pr.

Satz 2 (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie): Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist diese Darstellung eindeutig.

Ordnet man die Faktoren der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n der Gröÿe nach und fasst gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen, erhält man die kanonische Form der Primfaktorzerlegung

n=

∞

Y

i=1

p^α_iⁱ.

Wobeiα_i ∈N für allei≥1und α_i = 0 für fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele)igilt.

Auÿerdem istpi die i-te Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, ....

Satz 3 (Primzahlkriterium): Eine natürliche Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle a, b∈N gilt

p|a·b =⇒ p|a∨p|b.

Satz 4 (Teilbarkeitskriterium): Es seia=Q∞

i=1pⁿ_iⁱundb=Q∞

i=1p^m_i ⁱ mitn_i, m_i ∈N für alle i≥1 und n_i =m_i = 0 für fast alle i. Dann gilt

a|b ⇐⇒ n_i ≤m_i ∀i∈N.

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3. Primzahlfunktion

Denition 2 (Primzahlfunktion): Es sei N ∈N. Dann bezeichnet π(N) die Anzahl der Primzahlen ≤N.

Lemma 2 (Prinzip der Inklusion und Exklusion): Seien A1, ..., An (n ≥2)endli- che Mengen. Für jede natürliche Zahl r mit 1≥r≥n sei

S_rⁿ:= X

1≤i1<...<ir≤n

|A_i1 ∩...∩A_ir|.

Dann gilt

n

[

j=1

A_j

=

n

X

r=1

(−1)^r−1·S_rⁿ

(Summation über alle r-elementigen Teilmengen {i1, ..., ir} von {1, ..., n}).

Satz 5: Es sei P das Produkt aller Primzahlen ≤ √

N und ω(n) die Anzahl verschie- dener Primteiler von n ∈ N. Mit [x] wird die gröÿte ganze Zahl ≤ x bezeichnet. Dann gilt

π(N) =π(√

N)−1 +X

d|P

(−1)^ω(d)· N

d

(Summation über alle Teiler d von P).

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