Aufgabe 1 (Primzahlen und Binomialkoeffizienten). Zeigen Sie: F¨ ur jede Primzahl p und jede nat¨ urliche Zahl n gilt

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Strukturelle Komplexit¨ atstheorie WS 2020/21

Ubungsblatt 8 ¨

Aufgabe 1 (Primzahlen und Binomialkoeffizienten). Zeigen Sie: F¨ ur jede Primzahl p und jede nat¨ urliche Zahl n gilt

np − 1 p − 1

≡ 1 mod p.

Hinweis: Beweisen Sie zun¨ achst den Satz von Wilson: Eine nat¨ urliche Zahl p ≥ 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn (p − 1)! ≡ −1 mod p gilt.

L¨ osung. Sei p ≥ 2. Falls p keine Primzahl ist, gibt es ganze Zahlen a > 1 und b > 1 mit p = ab. Wenn a 6= b ist, enth¨ alt (p −1)! sowohl a als auch b als Faktor und es gilt (p − 1)! ≡ 0 mod p. F¨ ur a = b kann man aber einen Trick verwenden: Denn −p = a · (−a) ≡ a · (p − a ) mod p. F¨ ur a 6= p − a k¨ onnen wir also das gleiche Argument wie vorher verwenden. Wann gilt p = a ² und a = p − a? Das kann nur passieren, wenn p = a ² = 2a ist, also p = 4 gilt.

Dann kann man aber nachrechnen, dass (4 − 1)! ≡ 2 mod 4.

Falls p eine Primzahl ist, so ist Z /p Z ein K¨ orper. Das heißt, die Gleichung x ² = 1 hat genau 2 L¨ osungen modulo p. F¨ ur p > 2 sind das x = ±1, f¨ ur p = 2 haben wir eine doppelte Nullstelle bei x = 1. Folglich enth¨ alt das Produkt (p − 1)! zu jeder Zahl 0 6= a mod p auch die inverse Zahl 0 6= a ⁻¹ mod p, die f¨ ur alle a 6≡ ±1 mod p von a verschieden ist. Somit bleiben nur ±1 mod p ubrig, da ¨ a · a ⁻¹ ≡ 1 mod p gilt. Genauer heißt das f¨ ur p > 2, dass (p − 1)! ≡ 1 · (−1) ≡ −1 mod p. F¨ ur p = 2 ist die Aussage trivial.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass f¨ ur p ≥ 2 gilt

(p − 1)! mod p =



 

 

−1, falls p prim,

0, p nicht prim, p 6= 4, 2, p = 4.

Nun zur eigentlichen Aussage. Wir benutzen den Satz von Wilson an zwei Stellen.

np − 1 p − 1

≡ (np − 1)!

(np − 1 − p + 1)!(p − 1)!

≡ (np − 1)!

(np − p)!(−1)

≡ −(np − 1) · (np − 2) · · · (np − p + 1)

≡ −(p − 1) · (p − 2) · · · 2 · 1

≡ −(−1) ≡ 1 mod p

1

Aufgabe 2 (Probabilistische Primzahltests). Mit dem AKS-Test kann man deterministisch pr¨ ufen, ob eine nat¨ urliche Zahl prim ist oder nicht. Wir be- trachten nun aber einen randomisierten Test, den Miller-Rabin-Test.

Sei n ≥ 3 ungerade und sei a ∈ {2, 3, . . . , n −2}. Dann gibt es eine eindeutige ungerade Zahl d mit n − 1 = d · 2 ^m und m > 0. Wir pr¨ ufen, ob a ^d ≡ 1 mod n oder a ^d·2

≡ −1 mod n f¨ ur ein 0 ≤ j < m gilt.

• Falls nicht, so ist n auf jeden Fall zusammengesetzt (a heißt dann Zeuge f¨ ur die Zusammengesetztheit von n ).

• Falls ja, so k¨ onnte es sich um eine Primzahl handeln (Primzahlen wer- den den Test immer bestehen).

• Die Fehlerwahrscheinlichkeit (also die Chance, dass eine zusammenge- setzte Zahl den Test besteht) ist h¨ ochstens 25%.

Diese Tatsachen d¨ urfen Sie ohne Beweis verwenden.

1. Testen Sie mit dem Miller-Rabin-Test, ob n = 5 prim ist.

L¨ osung. Wir wissen schon, dass n = 5 eine Primzahl ist, also sollte n den Test bez¨ uglich jeder Basis a bestehen. Umgekehrt, wenn wir alle Basen durchprobiert haben, so muss n zu 100% prim sein.

Es gilt n − 1 = 2 ² , also ist d = 1 und m = 2. Wir m¨ ussen nur 2 Basen durchprobieren, n¨ amlich a = 2 und a = 3.

a = 2: 2 ¹ ≡ 2 mod 5, 2 ² ≡ −1 mod 5.

a = 3: 3 ¹ ≡ 3 mod 5, 3 ² ≡ −1 mod 5.

2. Testen Sie, ob n = 121 prim ist, zun¨ achst mit a = 3, dann w¨ ahlen Sie eine beliebige andere Basis.

L¨ osung. Wir wissen, dass 121 keine Primzahl ist (denn 121 = 11 ² ). Es gilt n − 1 = 15 · 2 ³ , also ist d = 15 und m = 3. Zur Basis 3 erhalten wir

3 ¹⁵ ≡ 3 ⁸ · 3 ⁴ · 3 ² · 3

≡ (−40) ² · (−40) · 9 · 3

≡ 27 ² · (−40) ≡ 1 mod 121.

Man sagt auch, dass 121 eine Pseudoprimzahl zur Basis 3 ist. Nehmen wir aber zum Beispiel Basis a = 2:

2 ¹⁵ ≡ 2 ⁸ · 2 ⁴ · 2 ² · 2

≡ 14 · 16 · 4 · 2

≡ (−18) · 8 ≡ −23 mod 121,

2

2 ³⁰ ≡ (−23) ² ≡ 45 mod 121 und 2 ⁶⁰ ≡ 45 ² ≡ 89 mod 121. Somit ist a = 2 ein Zeuge und n = 121 muss zusammengesetzt sein.

Aufgabe 3. Begr¨ unden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:

1. Jede regul¨ are Sprache ist d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. F¨ ur |Σ| = 2 ist Σ ^∗ regul¨ ar, aber nicht d¨ unn.

2. Jede endliche Vereinigung d¨ unner Sprachen ist d¨ unn.

L¨ osung. Wahr. Wir k¨ onnen W¨ orter der L¨ ange n in S k

i=1 L _i beschr¨ anken mit p ₁ (n ) + · · · + p _k (n).

3. Jeder endliche Schnitt nicht d¨ unner Sprachen ist nicht d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. Nehme z.B. L ₁ als alle W¨ orter ungerader L¨ ange ¨ uber einem Alphabet mit mindestens zwei Zeichen und L ₂ als alle W¨ orter gerader L¨ ange. Beide L _i sind nicht d¨ unn, aber der Schnitt ist leer.

4. Endliche Schnitte nicht d¨ unner Sprachen, welche paarweise nicht d¨ unnen Schnitt haben, sind nicht d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. Nehme z.B. L ₁ als alle W¨ orter, deren L¨ ange 0 und 1 modulo 3 ist, L 2 als alle W¨ orter, deren L¨ ange 1 und 2 modulo 3 ist und L ₃ als alle W¨ orter, deren L¨ ange 2 und 0 modulo 3 ist. Paarweise Schnitte sind nicht d¨ unn, aber der Schnitt aller 3 Sprachen ist leer.

5. Jede unendliche Vereinigung d¨ unner Sprachen ist d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. Man kann zum Beispiel Σ ^∗ wie im 1. Teil als Verei- nigung von einzelnen W¨ ortern schreiben. Da jede der Sprachen einele- mentig ist, ist klar, dass sie auch d¨ unn sein m¨ ussen.

6. Sei |Σ| ≥ 2. Das Komplement d¨ unner Sprachen L ⊆ Σ ^∗ ist stets nicht d¨ unn.

L¨ osung. Wahr. Da es exponentiell viele W¨ orter der L¨ ange n in Σ ^∗ gibt, muss es auch exponentiell viele W¨ orter der L¨ ange n in Σ ^∗ \L geben.

7. Sei |Σ| ≥ 2. Das Komplement nicht d¨ unner Sprachen L ⊆ Σ ^∗ ist stets d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. Die L _i in Teil 3 sind komplement¨ ar.

3

8. Die Menge der Primzahlen in Bin¨ ardarstellung ist d¨ unn.

L¨ osung. Falsch. Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Prim- zahlen ≤ N asymptotisch N / log(N ) ist. In Bin¨ ardarstellung haben Primzahlen gleiche L¨ ange, wenn sie zwischen 2 ⁿ und 2 ⁿ⁺¹ liegen. Asym- ptotisch haben wir also

2 ⁿ⁺¹

log(2 ^{n +1} ) − 2 ⁿ

log(2 ⁿ ) ∈ O 2 ⁿ

n

viele Primzahlen der L¨ ange n + 1.

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