Prof. Dr. W. Bergweiler Sommersemester 2014 Analysis IV
Serie 6
1. Sei Ω⊆Coffen undf: Ω→C holomorph. Sei weiter 0∈Ω undR >0 mit D(0, R)⊂Ω.
Zeigen Sie, dass f¨ur allez ∈D(0, R)
f(z) = 1 2π
Z π
−π
f(Reiθ) R2− |z|2
|Reiθ−z|2dθ
gilt. Sei weiter u: Ω→R harmonisch. Zeigen Sie, dass f¨urz ∈D(0, R) auch
u(z) = 1 2π
Z π
−π
u(Reiθ) R2− |z|2
|Reiθ −z|2dθ gilt.
Hinweis. Wenden Sie, f¨ur festes z ∈D(0, R), die Cauchy-Integralformel auf
g(w) = f(w) R2−zw an.
2. Zeigen Sie, dass die Aussage des Cauchy-Integralsatzes f¨ur sternf¨ormige Gebiete (Satz 5.2) allgemeiner auch f¨ur GebieteG der FormG=G1∪G2 gilt, wennG1 und G2 sternf¨ormig sind und G1∩G2 zusammenh¨angend ist.
Mit anderen Worten: Ist G ein Gebiet dieser Form und f: G → C holomorph, so gilt R
γf(z)dz = 0 f¨ur jeden geschlossenen Integrationsweg in G.
3. Sei Log : C\(−∞,0]→Cder in der Vorlesung definierte Hauptwert des Logarithmus. F¨ur α ∈R\Zund z ∈C\(−∞,0] ist der Hauptwertzα der Potenz durch
zα:= exp(αLogz) definiert. F¨ur n ∈ N mit n ≥ 2 schreibt man auch √n
z statt z1/n. Bestimmen Sie die Menge der z, f¨ur die die folgenden Gleichungen gelten:
(a) (√n
z)n=z, (b) √n
zn=z.
4. Sei G⊂ C beschr¨anktes Gebiet und sei f:G →C. Es gelte |f(z)| → ∞ gleichm¨aßig f¨ur z →∂G, d.h., f¨ur alle M > 0 existiertδ >0, so dass |f(z)| ≥M, falls
dist(z, ∂G) := inf
ζ∈∂G|ζ−z|< δ . Zeigen Sie, dass f nicht holomorph ist.
Die L¨osungen sind bis Dienstag, den 27.05.2014, 10:00 Uhr, im Fach des jeweiligen ¨Ubungsleiters abzugeben.
