Zeigen Sie, dass f¨ur allez ∈D(0, R) Ref(z

Prof. Dr. W. Bergweiler Sommersemester 2014 Analysis IV

Serie 8

1. (a) Sei Ω ⊆ C offen und f: Ω → C holomorph. Sei weiter 0 ∈ Ω und R > 0 mit D(0, R)⊂Ω. Zeigen Sie, dass f¨ur allez ∈D(0, R)

Ref(z) = 1 2πi

Z

|ζ|=R

Ref(ζ) Re

ζ+z ζ−z

dζ ζ = 1

2π

π

Z

−π

Ref(Re^iθ)Re

Re^iθ+z Re^iθ −z

dθ

und

f(z) =iImf(0) + 1 2πi

Z

|ζ|=R

Ref(ζ) ζ+z ζ−z

dζ ζ gilt.

Hinweis. Benutzen Sie Aufgabe 1 der Serie 6.

(b) Seif ganze Funktion. Zeigen Sie, dass

max|z|=r|f(z)| ≤ |Imf(0)|+ 3 max

|z|=2r|Ref(z)|.

(c) Seif ganze Funktion. Es gebe Konstanten A, B, C ≥0, so dass

|Ref(z)| ≤A+B|z|^C

ist. Zeigen Sie, dassf ein Polynom ist, dessen Grad h¨ochstens C ist.

Bemerkung.Die Behauptung gilt auch unter der schw¨acheren Voraussetzung, dass Ref(z)≤A+B|z|^C.

2. (a) Sei γ: [0,1] → C\{0} glatte Kurve. Zeigen Sie, dass differenzierbare Funktionen

%, ϕ: [0,1]→R existieren, so dass γ(t) =%(t)e^2πiϕ(t) f¨ur allet∈[0,1].

Hinweis. Hat γ die gew¨unschte Form, so gilt γ⁰/γ =%⁰/%+i2πϕ⁰.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur jede geschlossene glatte Kurve γ: [0,1] → C\{0} ein m ∈ Z existiert, so dass γ in C\{0} homotop zu σ: [0,1] → C\{0}, σ(t) = γ(0)e^2πimt, ist.

(Sie d¨urfen verwenden, dass Homotopie eine ¨Aquivalenzrelation ist.)

(c) Folgern Sie aus (b), dass in C\{0} nullhomologe glatte Kurven auch nullhomotop sind.

3. Berechnen Sie f¨ur a, b >0 das Integral

∞

Z

0

sinax x(x²+b²)dx .

Hinweis. Benutzen Sie den skizzierten Integrationsweg, mitr →0 undR → ∞.

R r ^-

Y

4. SeienG, H ⊂CGebiete und seif: G→H bijektiv und holomorph. Die Umkehrfunktion von f sei ebenfalls holomorph. Zeigen Sie, dassGgenau dann einfach zusammenh¨angend ist, wenn H einfach zusammenh¨angend ist.

Bemerkung. Wir werden sp¨ater sehen, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven, holo- morphen Funktion immer holomorph ist.

Die L¨osungen sind bis Dienstag, den 17.06.2014, 10:00 Uhr, im Fach des jeweiligen ¨Ubungsleiters abzugeben.