Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung
Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011
Analysis II f¨ur die Studieng¨ange
Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 5
Abgabetermin: 12.05.2011
Aufgabe 14 F¨ur
∆ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2
und f ∈ C2(G) heißt die Gleichung ∆f = 0 die Laplacegleichung in einem Gebiet G. Ihre L¨osungen heißen harmonische Funktionen im Gebiet G.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f mit
f(x, y, z) =∥(x, y, z)∥−1
und ∥(x, y, z)∥2 =x2+y2+z2 in G\(0,0,0) harmonisch ist.
b) Zeigen Sie dass die Funktion
f(t, x, y, z) = 1 (2a√
πt)3e−x2+y2+z
2 4a2t ,
definiert f¨urt >0 und (x, y, z)∈IR3, der W¨armeleitungsgleichung
∂f
∂t =a2∆f gen¨ugt.
8 Punkte Aufgabe 15 Eine Funktion f(x) heißt konvex auf dem konvexen Bereich B ⊆IRn, falls die Jensensche Ungleichung
f(λ1x′+λ2x′′) ≤ λ1f(x′) +λ2f(x′′)
f¨ur alle x′, x′′ ∈ B und λ1, λ2 ≥ 0 mit λ1 +λ2 = 1 erf¨ullt ist. (Die Definition wird ausdr¨ucklich auf eine konvexe Teilmenge B des Definiti- onsgebietes vonf bezogen; damit wird gesichert, daß mitx′ und x′′ auch
der Zwischenpunktλ1x′+λ2x′′ zu B geh¨ort undf dort ausgewertet wer- den kann.)
a) Beweisen Sie, daß f(x) = x12 +x22 auf dem Einheitskreis {x ∈ IR2 |x| ≤1} konvex ist.
b) Auf welchen Teilmengen ihres Definitionsbereiches ist die Funktion f(x) = 1
x1 + 1
x2 konvex? 4 Punkte
Aufgabe 16 Gegeben sei die Funktion f : IR2 →IR, mit f(x, y) = xy(xx22+y−y22)
f¨ur (x, y)̸= (0,0) und f(0,0) = 0. Zeigen Sie:
a) Die gemischten partiellen Ableitungen fxy(0,0) und fyx(0,0) existieren.
b) fxy(0,0)̸=fyx(0,0).
10 Punkte
