Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt III vom 29. April 2010
(Abgabe bis Donnerstag, 06. Mai, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe III.1 (6 Punkte)
a) Seien die Normen k.kp mit p ∈ [1,∞) und k.k∞ auf Rn wie in der Vorlesung definiert. Zeigen Sie, dass diese f¨ur 1 ≤p, q ≤ ∞ paarweise ¨aquivalent sind, d.h.
es existiertc >0 derart, dass f¨ur jedes x∈Rn 1
ckxkp≤ kxkq ≤ckxkp.
Hinweis:Es ist ausreichend, dies f¨ur 1≤p≤ ∞undq =∞zu beweisen. Warum?
b) Sei 1≤p≤ ∞. Zeigen Sie, dass (Rn,k.kp) ein Banachraum ist.
Aufgabe III.2 (3+3+2 Punkte)
Seien (X, d) ein metrischer Raum undM ⊂X. In der Vorlesung wurden die Mengen M ={x∈X |x ist Ber¨uhrpunkt vonM}
und
M˚ ={x∈X |x ist innerer Punkt vonM} definiert.
a) Die abgeschlossene H¨ulle von M ist definiert durch
cl(M) = \
A⊃M Aabgeschlossen
A.
Beweisen Sie, dass M = cl(M).M ist also die kleinste abgeschlossene Obermenge von M.
b) Deroffene Kern von M ist definiert durch intM = [
A⊂M Aoffen
A.
Beweisen Sie, dass ˚M = int(M). ˚M ist also die gr¨oßte offene Teilmenge von M.
c) Bestimmen Sie in den folgenden F¨allen jeweilsM ,M˚ und ∂M.
i)M = (0,1], X =R ii)M = (0,1]× {0}, X =R2 iii)M =Q, X=R
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Aufgabe III.3 (6 Punkte)
Seien a, b ∈R mit a < b. Seien weiterhin C([a, b]) = {f : [a, b]→R|f stetig} versehen mit der durch die Supremumsnorm induzierten Metrik, d.h.d(f, g) = sup
x∈[a,b]
|f(x)−g(x)|,
und Rversehen mit der ¨ublichen Metrik.
a) Zeigen Sie, dassC([a, b]) vollst¨andig ist.
Hinweis: Sie k¨onnen das Resultat aus Aufgabe II.2b) verwenden.
b) Zeigen Sie, dass die durch
I1:f 7→
b
Z
a
f(t)dt
I2:f 7→f
2a+b 3
definierten Funktionen I1, I2:C([a, b])→R stetig sind.
c) Ist auch I3:C([a, b])→Rdefiniert durch
I3:f 7→
b
Z
a
|f(t)| dt
stetig?
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