a) Berechnen Sie die Jacobimatrix von f an der Stellea∈R2

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis II Blatt V vom 13. Mai 2010

Aufgabe V.1

SeiX ein metrischer Raum undM ⊂X.

Beweisen Sie: Falls M kompakt ist, so istM auch folgenkompakt.

Aufgabe V.2

Betrachten Sie die Abbildung f :R²→R² definiert durchf(x₁, x₂) = (−x₂, x₁).

a) Berechnen Sie die Jacobimatrix von f an der Stellea∈R². b) Skizzieren Sie das Vektorfeldf.

Aufgabe V.3

Seif:R²→R definiert durchf(x₁, x₂) =x²₁+x²₂. Skizzieren Sie die Niveaulinien {(x₁, x₂)|f(x₁, x₂) =c} f¨urc∈₁

2,1,2,3

sowie das Gradientenfeld vonf, d.h. das Vektorfeld der Abbildung x7→ ∇f(x).

Welcher Zusammenhang besteht zwischen f und der Funktion g:C→R,z7→ |z|²?

Aufgabe V.4

Seien n≥2 und die Abbildungf:R²ⁿ→R²ⁿ definiert durch

fi(x1, . . . , x2n) =

(x²_i +x_i+1, fallsi≤n−1

x²_i −xi−1, fallsi≥n f¨uri∈ {1, . . . ,2n}.

Bestimmen Sie die Jacobimatrix von f an der Stelle a∈R²ⁿ.

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