Lineare Algebra II Pr¨ asenzaufgaben, Teil 2

(1)

Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II Pr¨ asenzaufgaben, Teil 2

Aufgabe 5

Welche der folgenden Abbildungen

( · , · ) : R

³

× R

³

−→ R definieren ein Skalarprodukt?

a) ((x

1

, x

2

, x

3

), (y

1

, y

2

, y

3

)) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

,

b) ((x

₁

, x

₂

, x

₃

), (y

₁

, y

₂

, y

₃

)) = x

₁

y

₂

+ x

₂

y

₁

+ x

₃

y

₃

,

c) ((x

₁

, x

₂

, x

₃

), (y

₁

, y

₂

, y

₃

)) = 3x

₁

y

₁

+ x

₁

y

₂

+ x

₂

y

₁

+ 3x

₂

y

₂

+ x

₃

y

₃

.

d) Bestimmen Sie in den F¨ allen, in denen ein Skalarprodukt vorliegt, das orthogonale Kom- plement des von (0, 1, 0) und (0, 0, 1) erzeugten Unterraums.

Aufgabe 6

Wende das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis



 1 2 2







 3 2 1







 2 1 7





des euklidischen Vektorraums R

³

mit dem Standard-Skalarprodukt an.

Aufgabe 7

(Vergleiche Aufgabe 1 des ¨ Ubungsblatts.) Es sei

β : M

_n

( R ) × M

_n

( R ) −→ R ,

(A, B) 7→ Spur(AB).

Sei N ≥ 1 und seien A

1

, . . . , A

_N

∈ M

n

( R ) paarweise miteinander kommutierende Matrizen.

Ferner gelte f¨ ur alle i, dass das Minimalpolynom von A

_i

in paarweise verschiedene Linearfak- toren zerf¨ allt. Sei V ⊆ M

n

( R ) der von den A

i

erzeugte Unterraum. Zeige:

β |

V×V

: V × V −→ R

ist ein Skalarprodukt.