Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018
Lineare Algebra II – Blatt 2
Abgabe der L¨osungen bis zum 23.04.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ur vorgesehenen K¨asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.
Wiederholen Sie aus Abschnitt 11 die Teilbarkeitstheorie f¨ur den Ring Z der ganzen Zahlen (insbesondere den Begriff
”gr¨oßter gemeinsamer Teiler“) und aus Abschnitt 13 die Grundbegriffe f¨ur Polynomringe K[X].
Aufgabe 2.1 (4 Punkte)
Sei K ein K¨orper und seien g, h ∈ K[X]. Zeigen Sie: Sind g, h nicht beide gleich 0, so existiert genau ein normierter gr¨oßter gemeinsamer Teiler von g, hin K[X]; dieser wird mit ggT(g, h)bezeichnet und heißt der gr¨oßte gemeinsame Teiler vong undh. Zus¨atzlich setzt man ggT(0,0) =0.
Zeigen Sie weiter: Es existierenp, q∈K[X]mit ggT(g, h) =pg+qh(B´ezout-Koeffizienten).
Anleitung.Betrachten Sie inF = {pg˜ +qh˜ ∣p,˜ q˜∈K[X] und ˜pg+qh˜ normiert}ein Polynom f von kleinst m¨oglichem Grad und verwenden Sie Division mit Rest (Lemma 13.8).
Aufgabe 2.2 (4 Punkte)
Bestimmen Sie mittels des Euklidischen Algorithmus jeweils den gr¨oßten gemeinsamen Teiler ggT(g, h) der folgenden Polynome g, hsowiep, q mit ggT(g, h) =pg+qh.
(a) g=X13+3X12−10X11+5X10−69X9−13X8−123X7+2X6−53X5+105X4+48X3+ 156X2+44X+84 undh=X6+5X5−3X4−4X3−5X2−X+7 in Q[X].
(b) g =X13+3X12+X9 +2X8+2X7+2X6+2X5+3X3+X2+4X+4 und h =X6+ 2X4+X3+4X+2 in F5[X], wobeiF5 den endlichen K¨orper Z/5Z bezeichne.
Aufgabe 2.3 (4 Punkte)
Sei K ein K¨orper, und seien f, g, h∈K[X]. Sei weiter f irreduzibel in K[X] und f ∣gh.
Dann folgt f ∣g oder f∣h.
Hinweis.Benutzen Sie die Existenz von gr¨oßten gemeinsamen Teilern und deren Darstel- lung mit Hilfe von B´ezout-Koeffizienten; vgl. das Lemma von Euklid 11.13.
Aufgabe 2.4 (4 Punkte)
Bestimmen Sie f¨ur die nachfolgenden Matrizen jeweils charakteristisches und Minimal- Polynom. Sind die Matrizen diagonalisierbar? (F7bezeichnet den endlichen K¨orperZ/7Z.)
A=⎛
⎜⎝
1 2 3 4 5 6 7 8 9
⎞⎟
⎠∈Mat3(R), B =⎛
⎜⎝
2 1 0 0 3 0 6 1 3
⎞⎟
⎠∈Mat3(F7).
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