Lineare Algebra II – Blatt 8

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018

Lineare Algebra II – Blatt 8

Abgabe der L¨osungen bis zum 04.06.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ur vorgesehenen K¨asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.

Aufgabe 8.1 (4 Punkte)

Betrachten Sie die auf V =R³ durch die Strukturmatrizen (bzgl. der Standardbasis)

B₁ =⎛

⎜⎝

0 −1 3

1 0 2

−3 −2 0

⎞⎟

⎠, B₂=⎛

⎜⎝

1 1 2

1 3 −2 2 −2 −1

⎞⎟

⎠, B₃ =⎛

⎜⎝

1 2 3 1 2 2 1 1 1

⎞⎟

⎠, B₄ =⎛

⎜⎝

−1 1 −3 1 −2 2

−3 2 −3

⎞⎟

⎠. vermittelten Bilinearformen β₁, β₂, β₃, β₄∶R³×R³ →R.

(1) Entscheiden Sie, welche der Formen symplektisch, symmetrisch und ggf. positiv- oder negativ-(semi)definit (siehe Definition 26.3 im Skript) sind.

(2) Bestimmen Sie f¨ur indefinit symmetrisches β_i jeweils alle isotropen Vektoren.

Aufgabe 8.2 (4 Punkte)

Sei K ein K¨orper.

(1) Sei n ∈N, seien a1, b1, . . . , an, bn ∈K^∗ und sei π ∈ Sym(n) eine Permutation von n.

Zeigen Sie, dass die folgenden Isomorphien f¨ur Diagonalr¨aume gelten:

[a²₁b₁, . . . , a²_nb_n]K ≅ [b₁, . . . , b_n]K und [b_1π, . . . , b_nπ]K = [b₁, . . . , b_n]K. Zeigen Sie weiter, f¨ur 1≤k≤n und c1, . . . , ck∈K^∗ mit [b1, . . . , bk]K≅ [c1, . . . , ck]K gilt:

[c₁, . . . , c_k, b_k+1, . . . , b_n]K≅ [b₁, . . . , b_k, b_k+1, . . . , b_n]K.

(2) Sei nun speziellK =Z/7Z. Berechnen Sie{x²∣x∈K}und vergewissern Sie sich, dass K = {0}∪ {˙ x² ∣x∈K^∗}∪ {−˙ x²∣x∈K^∗}.

(3) Folgern Sie, dass jeder 4-dimensionale regul¨are metrische Vektorraum ¨uberK =Z/7Z isomorph zu wenigstens einem der folgenden Diagonalr¨aume ist:

[1,1,1,1]K, [1,1,1,−1]K, [1,1,−1,−1]K, [−1,−1,−1,1]K, [−1,−1,−1,−1]K. (4) Zeigen Sie, dass f¨urK =Z/7Zgilt: [1,1]K ≅ [−1,−1]K.

(5) Folgern Sie, dass es, bis auf Isomorphie, genau zwei 4-dimensionale regul¨are metrische Vektorraum ¨uber K=Z/7Z gibt: [1,1,1,1]K und [1,1,1,−1]K.

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Lineare Algebra II – Blatt 8 S. 2/2

Aufgabe 8.3 (4 Punkte)

Sei n∈N und K ein endlicher K¨orper mitq Elementen. Zeigen Sie:

(a) Ein n-dimensionaler K-Vektorraum besitzt genau q^(n2−n)/2∏ⁿi=1(qⁱ−1)geordnete Ba- sen.

(b) Ein 2n-dimensionaler K-Vektorraum, ausgestattet mit einer nicht-ausgearteten sym- plektischen Bilinearform, besitzt genau qⁿ²∏ⁿi=1(q²ⁱ−1)geordnete symplektische Basen.

Aufgabe 8.4 (4 Punkte)

Sei K =Z/7Z, und betrachten Sie die aufV =K⁵ durch die Matrix

B=

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

0 0 5 0 0 0 0 3 1 0 5 3 2 1 3 0 1 1 0 0 0 0 3 0 0

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

∈Mat₅(K)

vermittelte symmetrische Bilinearform β∈Bil(V, V).

(1) Bestimmen Sie das Radikal Rad(V, β), indem Sie eine Basis berechnen. Ermitteln Sie weiter ein orthogonales Komplement (V ,˜ β˜) zu Rad(V, β) in(V, β), indem Sie f¨ur ˜V eine BasisB angeben, die aus geeignet gew¨ahlten Standardbasisvektoren besteht, und die Strukturmatrix ˜B= [β˜]B von ˜β bez¨uglich B notieren.

(2) Bestimmen Sie in dem regul¨aren metrischen Vektorraum (V ,˜ β˜) einen maximalen totalisotropen Untervektorraum U = ⟨u₁, . . . , u_m⟩.

(3) Erg¨anzen Sie u1, . . . , um gem¨aß Satz 25.12 im Skript zu einer hyperbolischen Basis u₁, v₁, . . . , u_m, v_m f¨ur einen maximalen hyperbolischen Unterraum H₁k. . .kH_m.

(4) Beschreiben Sie den anisotropen Kern (W, γ)von (V ,˜ β˜).