Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019
Algebra – Blatt 5
Abgabe der L¨ osungen bis zum 06.05.2019, 10:30 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte geben Sie L¨ osungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.
Aufgabe 5.1 (8 Punkte)
Sei R ein Ring, und seien I, J ⊴ R. Zeigen Sie: Dann bilden auch die Mengen I ∩ J, I + J = { x + y ∣ x ∈ I, y ∈ J } und I ⋅ J = {∑
mk=1x
ky
k∣ m ∈ N
0, x
k∈ I, y
k∈ J f¨ ur 1 ≤ k ≤ m } Ideale von R. Illustrieren Sie anhand eines Beispiels, daß im allgemeinen {xy ∣ x ∈ I, y ∈ J}
kein Ideal von R und somit verschieden von I ⋅ J ist.
Aufgabe 5.2 (8 Punkte)
Sei R ein Ring. Der Grad von f = ∑
nk=0f
kX
k∈ Pol(R) ∖ {0} mit f
n= / 0 ist grad(f ) = n;
setze zudem grad(0) = −∞. Die Einheitengruppe S
∗eines Ringes S mit 1 besteht aus allen in S invertierbaren Elementen, d. h. S
∗= {x ∈ S ∣ ∃y ∈ S ∶ xy = yx = 1}. Zeigen Sie:
(a) F¨ ur f, g ∈ Pol(R) sind
grad ( f + g ) ≤ max { grad ( f ) , grad ( g )} und grad ( f g ) ≤ grad ( f ) + grad ( g ) , wobei in der zweiten Ungleichung sogar Gleichheit gilt, falls R nullteilerfrei ist.
(b) Der Ring R ist ein Integrit¨ atsbereich genau dann, wenn Pol(R) es ist.
(c) Ist R ein Integrit¨ atsbereich, so besteht die Einheitengruppe von Pol(R) = R[X] genau aus den konstanten Polynomen a = aX
0mit a ∈ R
∗. Weiter gilt: R [ X ]
∗≅ R
∗.
(d) Die Einheitengruppe des Ringes Z [ i ] = { a + bi ∣ a, b ∈ Z } ist isomorph zu Z / 4 Z und damit insbesondere endlich. (Hinweis: Benutzen Sie, daß Z [i] ein Unterring von C ist.) (e) Die Einheitengruppe des Ringes Z [
√
2] = {a + b √
2 ∣ a, b ∈ Z } ist unendlich.
1(Hinweis:
Finden Sie zun¨ achst irgendeine Einheit e ∈ {1, / −1}.) Aufgabe 5.3
(a) Sei R ein endlicher Ring mit 1, und sei a ∈ R ∖ { 0 } . Zeigen Sie: Entweder ist a eine Einheit oder ein (Links- und Rechts-)Nullteiler in R. (Hinweis: Betrachten Sie die Abbildungen R → R, x ↦ ax und R → R, x ↦ xa.)
(b) Sei n ∈ N mit n ≥ 2 und R = Z /n Z . Zeigen Sie: F¨ ur a = a + n Z ∈ R gilt a ∈ R
∗genau dann, wenn ggT ( a, n ) = 1 ist.
Aufgabe 5.4
Bestimmen Sie x, y, z ∈ Z dergestalt, daß
x ≡
41, x ≡
30, x ≡
50, y ≡
40, y ≡
31, y ≡
50, z ≡
40, z ≡
30, z ≡
51.
Geben Sie allgemein die L¨ osungsmenge des Systems linearer Kongruenzen n ≡
4a, n ≡
3b, n ≡
5c
f¨ ur n ∈ Z in Abh¨ angigkeit der Parameter a, b, c ∈ Z an. Bestimmen Sie explizit die drei kleinsten positiven L¨ osungen f¨ ur die speziellen Werte (a, b, c) = (3, 1, 2).
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