Abgabe der L¨ osungen bis zum 14.05.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018

Lineare Algebra II – Blatt 5

Abgabe der L¨ osungen bis zum 14.05.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.

Aufgabe 5.1 (4 Punkte)

Seien B = ( b

, b

, b

) und C = ( c

, c

, c

) mit c

= b

− b

, c

= b

+ b

, c

= b

zwei Basen des Standardvektorraums R

. Sei weiter β eine Bilinearform auf R

mit Strukturmatrix

[ β ]

= ⎛

⎜ ⎝

1 1 1

0 − 1 − 1

1 0 1

⎞ ⎟

⎠ .

(a) Berechnen Sie β ( x, y ) f¨ ur x = b

+ 2b

+ 3b

und y = b

− b

− 2b

. (b) Bestimmen Sie [ β ]

.

Aufgabe 5.2 (4 Punkte)

Betrachten Sie die folgenden Abbildungen:

β ∶ R

× R

→ R , (( x

, x

, x

) , ( y

, y

, y

, y

, y

)) ↦ x

+ 5x

y

− 3x

y

+ y

y

, γ ∶ R

× R

→ R , (( x

, x

, x

) , ( y

, y

, y

, y

, y

)) ↦ x

y

+ 5x

y

− 7x

y

+ x

y

,

δ ∶ R

× R

→ R , (( x

, x

, x

) , ( y

, y

, y

)) ↦ x

y

+ 2x

y

− 7x

y

+ 3x

y

+ 8x

y

− x

y

. (a) Entscheiden Sie f¨ ur β, γ und δ jeweils ob die gegebene Abbildung eine Bilinearform ist. Wenn ja, entscheiden Sie, ob diese nicht-ausgeartet bzgl. der ersten bzw. zweiten Variablen ist. Geben Sie dazu Strukturmatrizen bzgl. der Standardbasen an.

(b) Geben Sie f¨ ur β, γ und δ, sofern diese Bilinearformen sind, Basen B , C der beteiligten Vektorr¨ aume an, so dass die zugeh¨ origen Strukturmatrizen m¨ oglichst ¨ ubersichtlich sind.

(c) Geben Sie f¨ ur δ, sofern diese eine Bilinearform ist, eine Basis B f¨ ur R

an, sodass die zugeh¨ orige Strukturmatrix [ δ ]

m¨ oglichst ¨ ubersichtlich ist.

Hinweis. F¨ ur (b) lassen Sie sich durch Satz 15.17 aus der Linearen Algebra I inspirieren.

F¨ ur (c), versuchen Sie die Strukturmatrix auf Dreiecksform zu bringen.

Bitte wenden!

S. 1/2

Lineare Algebra II – Blatt 5 S. 2/2

Aufgabe 5.3 (4 Punkte)

Sei V der R -Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen f ∶ R → R vom Grad h¨ ochstens 2.

Zeigen Sie, dass die wie folgt definierten Abbildungen φ

, φ

, φ

∶ V → R Linearformen auf V darstellen:

f φ

= ∫

f ( t ) dt, f φ

= f

( 1 ) , f φ

= f ( 0 ) f¨ ur f ∈ V .

Zeigen Sie weiter, dass C = ( φ

, φ

, φ

) eine Basis von V

ist, und bestimmen Sie die duale Basis B = C

von V .

Hinweis. Erkl¨ aren Sie zun¨ achst, welche Dimension V und V

jeweils haben. Bekannte Tatsachen aus der Analysis d¨ urfen Sie verwenden.

Aufgabe 5.4 (4 Punkte)

Sei n ∈ N , und seien A, B ∈ Mat

(R) . Zeigen Sie: A und B sind komplex ¨ ahnlich genau dann, wenn sie schon reell ¨ ahnlich sind, d.h.

∃ S ∈ GL

(C) ∶ S

AS = B ⇔ ∃ T ∈ GL

(R) ∶ T

AT = B.

Hinweis. Zerlegen Sie f¨ ur die Richtung

” ⇒ “ eine geeignete Matrix S in

” Real- und Ima-

gin¨ arteil“, S = X + iY . Betrachten Sie dann die Gleichung A ( X + zY ) = ( X + zY ) B f¨ ur

reelle z.