Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung folgende Hinweise

(1)

BERUFSKOLLEG DES MÄRKISCHEN KREISES IN ISERLOHN

Zweijährige Berufsfachschule für Wirtschaft und Verwaltung - Höhere Handelsschule Vorklausur Mathematik 2020

Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung folgende Hinweise:

 Fertigen Sie für jede Aufgabe eine zusammenhängende Darstellung Ihrer Lösung an.

Rechnungen sind nachvollziehbar mit kurzen Erläuterungen darzustellen.

 Wahrscheinlichkeitsergebnisse sind in Aufgabe 1 auf vier, bei Prozentangaben auf zwei Nachkommastellen zu runden. Bei Zwischenergebnissen in Aufgabe 3 sollten ggf.

mehr Nachkommastellen verwendet werden, um Rundungsungenauigkeiten zu minimieren.

Aufgabe 1: (45 P. von 135 P.)

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ^{Bin n p}

 

^; -verteilten Zufallsgröße X:

 

ⁿ ^k



¹



^{n k}

P X k p p

k

  

    

  für k0,1,2, ,n

Ausgangssituation:

Die PIZZA Company ist ein junges aufstrebendes Gastronomieunternehmen und im Sauerland Marktführer bei Restaurants im „Italy-Style“. Die Inhouse-Gastronomie mit einem modernen Design und einer Top-Ausstattung bildet den perfekten Rahmen, um Pizza und Nudelgerichte (Pasta) unbeschwert zu genießen; Take-away und Lieferservice sind zusätzliche Businesskomponenten. Im April wurden in Iserlohn und Menden 2 neue Locations eröffnet. Als Gastronomiemanager sind Sie für den Erfolg der beiden Standorte verantwortlich.

1.1 Zur Vorbereitung auf die Eröffnung haben Sie eine Marketingagentur beauftragt, die Pizzavorlieben der Sauerländer herauszufinden. Die Ergebnisse einer Befragung wurden zur Visualisierung in ein Säulendiagramm (Abb. 1) und in ein Kreisdiagramm (Abb. 2) übertragen.

Abb. 1 Abb. 2

Beim Vergleich der beiden Diagramme haben Sie den Verdacht, dass im Kreisdiagramm etwas nicht stimmt. Analysieren Sie die Diagramme und zeigen Sie der Marketingagentur durch eigene Rechnung, wo die Fehler liegen und welche Zahlen

richtig sind. (5 P)

(2)

1.2 Eine Woche vor Eröffnung der beiden Restaurants veranstalteten Sie ein Probeessen, bei dem die Gäste zur Zufriedenheit befragt wurden. Ihrer Auswertung der Fragebögen entnehmen Sie, dass 52% der Gäste in Iserlohn und 48% der Gäste in Menden waren.

In Iserlohn wählten 60% der Gäste eine Pizza und 40% ein Pasta-Gericht, in Menden wählten 65% der Gäste die Pizza und nur 35% die Pasta-Variante. Die Zufriedenheitsauswertung ergab für Iserlohn: 95% der Pizza-Esser waren zufrieden, bei den Pasta-Essern lag der Zufriedenheitswert nur bei 89%. In Menden waren 91% der Pizza-Esser zufrieden und 96% der Pasta-Esser.

1.2.1 Ermitteln Sie mithilfe eines geeigneten Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten

der folgenden Ereignisse für einen zufällig ausgewählten Gast: (14 P) (E1) Der Gast war zufrieden.

(E2) Der Gast wählte Pasta und war nicht zufrieden.

(E3) Der Gast wählte eine Pizza.

1.2.2 Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten für einen zufriedenen Gast in den beiden

Städten. (5 P)

1.3 Zur Eröffnung des Iserlohner Restaurants haben 120 Gäste telefonisch reserviert. Aus Erfahrung wissen Sie, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,10 der Gast trotz Reservierung nicht erscheint.

1.3.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: (8 P) (E1) Mehr als 13 Gäste, die reserviert hatten, erscheinen nicht.

(E2) Weniger als 10 Gäste, die reserviert hatten, erscheinen nicht.

(E3) Zwischen 8 und 14 Gästen, die reserviert hatten, erscheinen nicht.

1.3.2 Geben Sie an, mit wie vielen nicht erscheinenden Gästen Sie rechnen. (2 P)

1.4 In der Eröffnungswoche gilt folgendes Angebot: “Pizza – All you can eat!“ Man bestellt eine Pizza beliebiger Art und kann dann so oft man will für umsonst nachbestellen, sofern man die Pizza aufgegessen hat. Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an, die die bestellten Pizzen pro Gast, der das Angebot annimmt, zählt.

xi 1 2 3 4



i



P X x 0,85 0,10 0,04 0,01

Berechnen Sie, mit wie vielen Pizzen Sie pro Gast, der Pizza bestellt, rechnen müssen. (3 P)

1.5 Bei der Zufriedenheitsanalyse haben Sie gesehen, dass die Zufriedenheit der Pizza- Esser in Menden schlechter ausgefallen war als in Iserlohn. „Es könnte an der Tomatensoßedosiervorrichtung liegen“, sagt der Chefkoch von Menden. Eine Stichprobe führt zu folgenden Ergebnissen:

Tomatensoße in ml pro Pizza: 102, 96, 107, 90, 105

In Iserlohn lag der Mittelwert bei 100 ml und die Standardabweichung bei 4 ml.

Untersuchen Sie, ob die Tomatensoßedosiervorrichtung in Menden wirklich schlechter

ist. (8 P)

(3)

Musterlösung

Aufgabe 1:

1.1

Pizza Anzahl Anzahl %

Hawaii 21 16,8

Salami 24 19,2  F Rucola 26 20,8  F

Tuna 29 23,2

Margherita 25 20,0 (S) 125 100,0

Der Marketingagentur sind zwei Fehler unterlaufen, die Prozentangabe bei Salami und Rucola sind falsch. Die weiteren Zahlen im Kreisdiagramm sind richtig.

1.2

(1) p = 0,52*0,6*0,95 + 0,52*0,4*0,89 + 0,48*0,65*0,91

+ 0,48*0,35*0,96 = 0,92672 = 92,67%

(2) p = 0,52*0,4*0,11 + 0,48*0,35*0,04 = 0,02960 = 2,96%

(3) p = 0,52*0,6 + 0,48*0,65 = 0,6240 = 62,40%

1.2.2 I: p = 0,6*0,95 + 0,4*0,89 = 0,9260 = 92,60%

M: p = 0,65*0,91 + 0,35*0,96 = 0,9275 = 92,75%

Die Gäste waren in Menden etwas zufriedener.

1.3.1 n = 120; p = 0,10

P(E1) = P(X>13) = 1-P(X<=13) = 31,27%

P(E2) = P(X<10) = P(X<=9) = 22,86%

P(E3) = P(8<=X<=14) = P(X<=14) – P(X<=7) = 54,59%

1.3.2 E(X) = 0,1*120 = 12

1.4 E(X) = 0,85*1 + 0,10*2 + 0,04*3 + 0,01*4 = 1,21

I M

Pizza Pasta Pizza Pasta

Z N

Z

Z NZ Z N

Z

Z N

Z

0,52 0,48

0,6

0,4

0,65

0,35

0,95 0,05 0,89

0,11

0,91

0,09 0,96

0,04

(4)

1.5

x_i (x_q – x_i) (x_q – x_i)²

102 2 4

96 -4 16

107 7 49

90 -10 100

105 5 25

xq= 100 sum = 194

S = 194

6, 22896

5  ml

Die Tomatensoßedosiervorrichtung in Menden ist schlechter. Sie hat zwar den gleichen Mittelwert, aber die Streuung ist wesentlich größer.