(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: i

ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 3. Aufgabenblatt zur Abgabe vom 28.6.2013

Abgabe: Montag, 1. Juli vor der Vorlesung

Hinweis: Stellen Sie sicher, dass auf jedem abgegebenen Blatt Ihr Name und Ihre Übungs- gruppe vermerkt ist. Heften Sie Ihre abgegebenen Blätter zusammen damit nichts verloren geht.

1. Aufgabe: Bernoulli-Experimente (4+4 Punkte)

Es werden nacheinandernunabhängige Bernoulli-Experimente durchgeführt, jedes hat Erfolgswahrscheinlichkeit p.

(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

i. Es tritt kein einziger Misserfolg ein.

ii. Mindestens ein Misserfolg tritt ein.

iii. Höchstens zwei Misserfolge treten ein.

iv. Mindestens zwei Misserfolge treten ein.

(b) Eine Zweierserie sind zwei direkt aufeinanderfolgende erfolgreiche Experimente.

Bestimmen Sie die erwartete Anzahl von Zweierserien. (Auch Zweierserien, die Bestandteil längerer Serien sind und sich mit anderen Zweierserien überschneiden, zählen mit. Somit enthält beispielsweise eine Viererserie drei Zweierserien.) 2. Aufgabe: Diskrete Wahrscheinlichkeiten (3+4 Punkte)

(a) Sei X das Resultat einer zufälligen gleichverteilten Auswahl einer der Zahlen aus {−n, . . . ,−1,0,1,2, . . . ,2n}. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

(b) Wir werfen einen fairen Würfel100Mal. Dabei seiX die Summe aller geworfenen Augenzahlen. Finden Sie mittels der Ungleichungen von Markov und Tschebysche Schranken für die Wahrscheinlichkeit, dass X seinen Erwartungswert um mindes- tens50 übersteigt.

3. Aufgabe: Rekursion (4+6 Punkte)

Ein Baukasten enthält fünf Sorten von Bausteinen (rote, blaue, gelbe, grüne und orange).

Alle Bausteine haben die gleiche Grundäche (die man sich als ein Quadrat oder einen Kreis vorstellen kann). Alle roten Bausteine haben die Höhe 1, alle blauen, gelben und grünen Bausteine haben die Höhe2 und alle orangen Bausteine haben die Höhe 3. Sei tn die Anzahl der verschiedenen Türme der Höhe n, die man durch einfaches Stapeln aus diesen Bausteinen aufbauen kann, wenn von jeder Sorte beliebig viele Exemplare zur Verfügung stehen.

(a) Beschreiben Sie t_n durch eine lineare homogene Rekursion mit ausreichend vielen Anfangsbedingungen.

(b) Finden Sie eine geschlossene Formel für t_n.

4. Aufgabe: Graphen darstellen und durchmustern (3+2 Punkte)

Gegebenn∈N. SeiG_n= (V_n, E_n)ein einfacher ungerichteter Graph mit Eckenmenge V_n={k∈N\ {0}: k≤4n}

und KantenmengeE_n={ij: 4|i−j undi6=j} ∪ {ij : max(i, j)≤4 undi6=j}.

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(a) Zeichnen Sie die GraphenG2 undG3 und geben Sie eine Adjazenzlistendarstellung für G₂ an. Zeichnen Sie zudem den BFS-Baum von G₂ mit Startknoten 1 und aufsteigend geordneten Adjazenzlisten.

(b) Welcher der folgenden zwei Graphen ist isomorph zuG2? Begründen Sie Ihre Ant- wort.

5. Aufgabe: Kombinatorik auf Graphen (2+2+2+3+2+3 Punkte) (a) Wie viele Kanten haben die GraphenK_n und K_n,m für n, m∈N?

(b) Gegeben sei ein einfacher ungerichteter Graph G = (V, E) mit der Eckenmenge V = {v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} und |E| = 8, deg_G(v₁) = deg_G(v₂) = 3 und deg_G(v₃) = deg_G(v₄) = 4.Welchen Grad hatv₅?

(c) Wie viele Wege der Länge3 enthält der Hyperwürfel Q3, die in der Ecke (0,0,0) beginnen und in der Ecke(1,1,1)enden?

(d) Kann man auf den 12 Kanten des Hyperwürfels Q₃ Gewichte von 1 bis 12 so verteilen, dass für jeden Knoten die Summe der Gewichte der inzidenten Kanten gleich ist? (Jedes Gewicht soll dabei genau einmal vorkommen!)

(e) Wie viele Ecken des HyperwürfelsQ₈ haben einen Abstand kleiner als4 zur Ecke (0,0, ...,0)?

(f) Die Ecken des KreisesC6werden zufällig und gleichverteilt mit den Farben rot, grün und blau gefärbt, wobei die Färbungen der Ecken unabhängig voneinander sind.

SeiX die Zufallsvariable, die die Anzahl aller Kanten vonC6 angibt, deren beide Endpunkte dieselbe Farbe erhalten. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.

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