Können Sie die 12 Kanten eines Würfels so mit den Zahlen {1, . . . , 12} versehen, dass die Summe der drei Kanten an jeder Ecke gleich ist?

3. Übungsblatt

Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Eckensummen

Können Sie die 12 Kanten eines Würfels so mit den Zahlen {1, . . . , 12} versehen, dass die Summe der drei Kanten an jeder Ecke gleich ist?

Aufgabe 2: Binomialkoeffizienten

Wieviele Wörter kann man aus den Buchstaben des Worts MISSIPIPSI bilden?

Dabei sollen alle Buchstaben in der gegebenen Vielfachheit verwendet werden. Die Wörter müssen weder eine Bedeutung haben, noch vernünftig aussprechbar sein.

Drücken Sie Ihre Lösung durch Fakultäten aus.

Aufgabe 3: Sitzplätze

i) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 13 (unterscheidbare) Personen so auf einer lan- gen Bank zu platzieren, dass zwei bestimmte (verfeindete) Personen nicht ne- beneinander sitzen? Anordnungen zählen als verschieden, wenn sich für irgend- jemanden der rechte Nachbar geändert hat.

ii) Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Frauen und n Männer so an einen runden Tisch zu platzieren, dass keine zwei Männer nebeneinander sitzen? Wieder zählen Anordnungen als verschieden, wenn sich für irgendjemanden der rechte Nachbar geändert hat.

Aufgabe 4: Gerade und ungerade Summen

i) Auf wie viele Möglichkeiten kann man zwei verschiedene Zahlen aus der Menge {1, 2, . . . , 100} so auswählen, dass deren Summe eine gerade Zahl ist? Auf wie viele Arten für eine ungerade Summe?

ii) Beweisen Sie die Identität

2n 2

!

= 2 · n 2

!

+ n

iii) Gibt es eine Beziehung zwischen den vorigen Aufgabenteilen? Wenn ja, welche?

Aufgabe 5: Kletternde Permutationen

Sei A

die Anzahl der Permutationen π von {1, . . . , n} mit genau k Anstiegen, d.h.

k Positionen i < n mit π(i) < π(i + 1). Sei A

:= 1 und A

:= 0 für alle k 6= 0.

Zeigen Sie A

= (n − k)A

+ (k + 1)A

für alle n > 0 und alle k.