Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

9. Übungsblatt

Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer

Aufgabe 1: Sitzplätze

i) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 13 (wohlunterscheidbare) Personen so auf einer langen Bank zu platzieren, dass zwei bestimmte (verfeindete) Personen nicht nebeneinander sitzen? Anordnungen zählen als verschieden, wenn sich für ir- gendjemanden der rechte Nachbar geändert hat.

ii) Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Frauen und n Männer so an einen runden Tisch zu platzieren, dass keine zwei Männer nebeneinander sitzen? Wieder zählen Anordnungen als verschieden, wenn sich für irgendjemanden der rechte Nachbar geändert hat.

Aufgabe 2: Käse-Kombinatorik

Die Maus Pinky läuft auf ihrem 2D-Gitter prinzipiell nur auf Wegen, die monoton sind. Sie befindet sich gerade am Gitterpunkt (0, 0) und möchte zu Ihrem Spielge- fährten am Gitterpunkt (n, n). Allerdings sieht sie am Gitterpunkt (k, k), 0 < k < n, einen leckeren Käse.

i) Finden Sie eine Formel für die Anzahl a

der Gitterwege, über die Pinky laufen kann, um zu Ihrem Spielgefährten zu kommen und dabei den Käse an Position (k, k) einzusammeln.

ii) Zeigen Sie, dass a

= a

ist.

iii) Zeigen Sie, dass für k = 1 und jedes n > 1 mehr als die Hälfte aller Wege am Käse vorbeikommen.

Aufgabe 3: Abzählen

i) Auf wie viele Möglichkeiten kann man zwei verschiedene Zahlen aus der Menge {1, 2, . . . , 100} so auswählen, dass deren Summe eine gerade Zahl ist? Auf wie viele Arten für eine ungerade Summe?

ii) Beweisen Sie die Identität

2n 2

!

= 2 · n 2

!

+ n

iii) Gibt es eine Beziehung zwischen den vorigen Aufgabenteilen? Wenn ja, welche?

Aufgabe 4: Gesellige Mengenpartitionen

Sei A(n) die Anzahl der geselligen Mengenpartitionen von {1, . . . , n}, d.h. der Men-

genpartitionen von {1, . . . , n}, die keine einelementigen Klassen enthalten. Zeigen

Sie, dass A(n) + A(n + 1) = B(n), wobei B(n) die Anzahl aller Mengenpartitionen

von {1, . . . , n} ist.