5. Übungsblatt
Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15
Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer
Aufgabe 1: Operationelle Charakterisierung von Relationen Beweisen Sie, dass eine RelationR ⊆A×A
i) genau dann reflexiv ist, wenn IdA⊆R, ii) genau dann symmetrisch ist, wennR−1 ⊆R, iii) genau dann transitiv ist, wenn R◦R ⊆R.
Hinweis: Schreiben Sie erst die Definitionen von jeweils IdA und Reflexivität, R−1 und Symmetrie, undR◦R und Transitivität auf.
Aufgabe 2: Relationen
Sei M ={1,2,3, . . . ,8} und folgende Relationen inM gegeben:
i) a|b⇔ ∃c∈N:a·c=b (a „teilt“ b) ii) aRb ⇔a+b <10
Stellen Sie die Relationen jeweils als Menge, als Graph mit Knoten und gerichteten Kanten, und als 0/1-Matrix dar. Bestimmen Sie die Verkettungen | ◦ |, R◦R sowie die inversen Relationen |−1 und R−1 in einer Darstellung Ihrer Wahl.
Aufgabe 3: Äquivalenzrelationen
Sei M eine Menge und R eine Relation auf M. R heißt zirkulär, wenn für alle x, y, z ∈M gilt: xRy∧yRz ⇒zRx.
Zeigen Sie, dass eine reflexive, zirkuläre Relation stets eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 4: Ein falscher Beweis für eine falsche Aussage
Wir möchten zeigen, dass jede Relation, die symmetrisch und transitiv ist, auch reflexiv ist. Was ist falsch an folgender Argumentation: Wir wählen für ein beliebiges x ein y mit xRy. Wegen der Symmetrie gilt auch yRx und wegen der Transitivität auchxRx.
