12. Übungsblatt
Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15
Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer
Aufgabe 1: Asse
Sie mischen 52 Pokerkarten und geben davon 5 zufällig ausgewählte an Ihren Mit- spielerA (kein anderer Mitspieler hat bis jetzt Karten bekommen). Ihr langjähriger Freund B sitzt auch am Spieltisch und kann A in die Karten gucken.
i) B verrät Ihnen, dass „A ein Ass (beliebiger Farbe)“ hat. Mit welcher Wahr- scheinlichkeit hat A noch ein weiteres Ass?
ii) B verrät Ihnen, dass „A ein Ass Kreuz“ hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat A noch ein weiteres Ass?
Aufgabe 2: Zwei Würfel
Wir betrachten den durch zwei unabhängige und gleichverteilte Würfel erzeugten Produktraum, d.h. den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P r), in dem jedes Paar (i, j) ∈ Ω = {1,2, . . . ,6}2 die Wahrscheinlichkeit 1/36 hat. Die Zufallsvariablen X, Y und Z sind wie folgt definiert:
i) X(i, j) = 6i+j ii) Y(i, j) =i·j
iii) Z(i, j) = 6·max{i, j}+ min{i, j}
Beschreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der drei Zufallsvariablen mög- lichst genau und bestimmen Sie deren Erwartungswerte.
Aufgabe 3: Varianz der geometrischen Verteilung
Beweisen Sie, dass die geometrische Verteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit p die Varianz (1−p)/p2 hat. Benutzen Sie dafür die Formel V ar(X) =E(X2)−E(X)2 und wenden Sie den aus der Vorlesung bekannten Trick zur Berechnung des Erwar- tungswertes an.
Aufgabe 4: Erwartungswert mal anders
Beweisen Sie, dass für jede ZufallsvariableX : Ω→Nmit endlichem |Ω| gilt:
i) E(X) = P∞i=1i·P r(X =i) ii) E(X) = P∞i=0P r(X > i)
