Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

4. Übungsblatt

Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer

Aufgabe 1: Prädikatenlogik

Der Gültigkeitsbereich für die Variablen x, y und z in dieser Aufgabe sei auf die positiven reellen Zahlen R

festgelegt. Dazu sind die folgenden Prädikate gegeben:

P (x) = 1 ⇔ x ≥ 1 Q(x, y) = 1 ⇔ x < y R(x, y, z) = 1 ⇔ x + y = z

Welche Wahrheitswerte haben die folgenden Aussagen?

i) R(1, 2, 3) ii) Q(3, 2) iii) ∃x R(x, x, 3)

iv) ∃y∀x (P (x) ⇒ Q(y, x))

v) ∀z∃x∃y (P (z) ⇒ P (x) ∧ R(x, y, z) vi) ∀x∀z∃y R(x, y, z)

vii) ∀x∀z∃y Q(x, z) ⇒ R(x, y, z)

Aufgabe 2: Geometrische Reihe

Sie kennen bereits die geometrischen Reihe: Für jedes x ∈ R \ {0, 1} und n ∈ N gilt

n

X

i=0

x

= x

− 1 x − 1 .

i) Begründen Sie intuitiv, gegen welchen Wert die Summe für |x| < 1 strebt (konvergiert ), wenn n gegen unendlich geht.

ii) Wogegen konvergiert die Summe

+

+

+

+

· · · ? Finden Sie ein kom- binatorisches Argument (analog zu einem, dass auch schon in der Vorlesung benutzt worden ist).

Aufgabe 3: Summen

Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl n ≥ 12 die Summe von 4en und 5en ist.

Aufgabe 4: Induktion mal falsch

Was ist an folgendem Beweisversuch mit vollständiger Induktion falsch?

“Satz”: In jeder Menge von n > 0 Menschen haben alle das gleiche Geschlecht.

I.A. Für n = 1 ist die Aussage wahr.

I.S. Sei M eine n + 1-elementige Menschenmenge {m

, . . . , m

}. Aus dieser bilden wir zwei n-elementige Teilmengen M

:= {m

, . . . , m

} und M

:= {m

, . . . , m

}.

Nach I.V. haben alle Menschen in jeweils M

und M

das gleiche Geschlecht.

Da die Menschen in M

∩ M

zu beiden Mengen gehören, sind die Menschen

aus M

vom gleichen Geschlecht wie die aus M

und damit auch alle in M .