6. Übungsblatt
Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15
Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer
Aufgabe 1: Anzahl von Relationen
i) Wieviele Elemente enthält das kartesische Produkt zweier endlicher MengenA und B?
ii) Sei A eine Menge mit n Elementen. Stellen Sie Formeln für die Anzahl der reflexiven, dersymmetrischenund derreflexiven und symmetrischenRelationen in A auf und begründen Sie diese.
iii) Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es in der MengeA={a, b, c, d}
und warum?
Aufgabe 2: Schranken in Halbordnungen
Untenstehendes Hasse-Diagramm stellt ein Poset auf der MengeA={a, b, c, d, e, f, g, h}
dar. Bestimmen Sie die folgenden Minima, Maxima, Suprema und Infima, falls sie existieren, und kennzeichnen Sie nicht existierende Größen mit „existiert nicht“.
i) min{b, f, h, i}
ii) max{a, b, h, i}
iii) sup{a, c, e, f} iv) inf{f, h, j}
v) inf{d, e, f, i}
Aufgabe 3: Ketten und Antiketten
Bestimmen sie einelängste Kette (eine Kette mit möglichst vielen Elementen) in der Halbordnung (P({1,2,4,7}),⊆). Finden Sie eine Antikette (d.h., eine Menge von paarweise nicht vergleichbaren Elementen) mit mindestens 5 Elementen.
Aufgabe 4: Funktionen
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijek- tivität (die Menge Nenthält hier 0).
i) f1 :N+ →N+ mit f1(n) =n+ 1 ii) f2 :Z→Z mit f2(n) = n+ 1 iii) f3 :Z→N mit f3(n) = n2 iv) f4 :Z→Z mit f4(n) = n2 v) f5 :Z→Z mit f5(n) = n3
