13. Übungsblatt
Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15
Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer
Aufgabe 1: Euklidischer Algorithmus
Berechnen Sie für die folgenden Zahlenpaare (a, b) jeweils den ggT und die Darstel- lung des ggT als Linearkombination von a und b nach Bézout.
i) (12345,54321) ii) (338169,337831)
Aufgabe 2: Euklid meets Fibonacci
SeiFndie Fibonacci-Folge mitF0 := 0, F1 := 1 undFn :=Fn−1+Fn−2 für allen ≥2.
i) Stellen Sie eine Formel für den ggT(Fn, Fn−1) auf und beweisen Sie diese.
ii) Zeigen Sie, dass (−1)nFnFn−3+(−1)n−1Fn−1Fn−2eine Darstellung vonggT(Fn, Fn−1) als Linearkombination von Fn und Fn−1 für alle n≥3 ist.
Aufgabe 3: Primzahlzerlegung
Bestimmen Sie die Primzahlzerlegung von 2695 mit der in der Vorlesung vorgestellten Methode.
Aufgabe 4: Primzahlcharakterisierung
Sei p ≥2 eine natürliche Zahl. Für den Fall, dass p eine Primzahl ist, wurde in der Vorlesung gezeigt, dass ∀a, b ∈Z: (p|ab⇒p|a∨p|b). Beweisen sie mit Kontraposi- tion, dass auch die Rückrichtung gilt, d.h.
p ist Primzahl⇔ ∀a, b∈Z: (p|ab⇒p|a∨p|b)
