Mathematik IV f¨ur Maschinenbau und Informatik (Stochastik) SS 07 Serie 3 Universit¨at Rostock, Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr.F. Liese Dr. P. Dencker
Termin: 27. April 2007 Aufgabe 1 (4 Punkte)
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) und es seien A, B ∈ F. Weiterhin sei bekannt, dass
P(A∩B) = 1
6, P(A∩B) = 1
3, P(A∩B) = 1
8 und P(A∩B) = 3 8 Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) P(A) , b) P(B) ,
c) P(A∪B) .
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Gegeben sei eine zuf¨allige Gruppe von n Personen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Gruppe von n Personen wenigstens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Gehen Sie davon aus, dass alle Tage gleichwahrscheinlich als Geburtstag in Frage kommen! Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit f¨ur
a) n = 20 , b) n = 30 , c) n = 50 .
Aufgabe 3 (5 Punkte)
F¨ur ein W¨urfelexperiment mit Ergebnismenge {1,2,3,4,5,6} gelte f¨ur die Wahrscheinlichkeits- funktion q
q(1) = 1
5, q(2) = 1
6, q(3) = 2
15, q(4) = 2
15, q(5) = 1 6 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur,
a) eine Augenzahl gr¨oßer als 4 zu w¨urfeln, b) keine gerade Augenzahl zu w¨urfeln,
c) eine Augenzahl zu w¨urfeln, deren Quadrat kleiner als 20 und nicht durch 3 teilbar ist, d) eine Augenzahl i zu erhalten, f¨ur die |i−5| ≤3 ist?
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Aufgabe des Ritters de M´ere: Welches der beiden folgenden Ereignisse besitzt die gr¨oßere Wahrscheinlichkeit?
a) Bei vier W¨urfen mit einem idealen W¨urfel wird mindestens einmal eine Sechs gew¨urfelt.
b) Bei 24 W¨urfen mit zwei idealen W¨urfeln erh¨alt man mindestens einmal auf beiden W¨urfeln die Sechs.
Geben Sie f¨ur beide Experimente einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und vergleichen Sie!
Ubungsaufgaben, L¨osungen und Erg¨anzungen sind verf¨ugbar unter:¨ http://www.math.uni-rostock.de/∼dencker/Stochastik07.html
