Bitte beachten Sie die folgenden ¨Anderungen:

(1)

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 2, vom 13.04.2005 R ¨uckgabe am 21.04.2005

Bitte beachten Sie die folgenden ¨Anderungen:

1. Die gelösten Aufgaben werden in den Übungsstunden abgegeben (siehe R ückgabedatum).

2. Die korrigierten Aufgaben erhalten Sie in der darauf folgenden ¨Ubungsstunde zur ¨uck.

Die Aufgabenbl¨atter werden nach wie vor mittwochs in der Vorlesung verteilt.

Aufgabe 1 Dimensionsbestimmung von Parametern

Die folgende Differentialgleichung beschreibt den zeitlichen Verlauf eines Konzentrationsprofils ei- ner Substanz in einem senkrechten Brunnenschacht:

(1)

Bestimmen Sie die Dimensionen (ausgedr ¨uckt durch M, L, T) der Parameter

,

^!

,

und

. Die Variable

^"#$$

sei die Konzentration der Substanz in

^%'&)(

an der Position

(Dimension einer L¨ange) entlang des Schachtes zur Zeit

.

Aufgabe 2 Umgang mit Dimensionen und Einheiten (Kapitel 2.2.1)

Betrachten Sie die Modellgleichung

¹

f ¨ur die Rate

^*

als Funktion der Konzentration

*

+

*-,

.

,0/1

(2)

*3254+6

(

* , .798:77!;<>=798:777!;

;;?8A@

254+BDC9EGF52IH$JLK

8

1. Wie m ¨ussen Sie die Parameter

^* ^,

und

¨andern, damit Sie das Ergebnis

^*

in h

⁽

bekommen?

2. Wie m ¨ussen Sie die Parameter

^*>,

und

¨andern, damit Sie

in kg/m

einsetzen k¨onnen?

3. Bringen Sie (2) in die folgende allgemeinere Form

*

+

*-,

M

, N

,0/1 #

(3) in welcher die Gr¨osse

nun mit beliebigen Einheiten eingesetzt werden kann. Wie m ¨ussen die Parameter

^*O,

,

und

^,

angepasst werden? Geben Sie die neuen Parameter f ¨ur Gleichung 3 an.

Bitte wenden!

1

Hier handelt es ich um eine Zahlenwertgleichung, das heisst, die Gr¨osse

^P

wird in festgelegter Einheit eingesetzt und

das Ergebnis in einer festgelegten Einheit geliefert.

(2)

Aufgabe 3 Schadstoff im See

Ein See mit dem zeitlich konstanten Volumen

^Q

und Wasser-Durchfluss

^R

habe einen Zufluss und einen Abfluss. Im Zufluss wird ab dem Zeitpunkt

^S7

ein Schadstoff mit der Konzentration

^>TVU

eingeleitet. Bis zu diesem Zeitpunkt war der See frei von diesem Schadstoff. Der Schadstoff werde im See gem¨ass einer linearen Reaktion mit der Halbwertszeit

^W ^YX

abgebaut.

1. Zeichnen Sie ein Boxschema, welches dieses System charakterisiert.

2. Stellen Sie die Bilanzgleichung f ¨ur die Konzentration

^"Z

im See auf.

3. Welchen Wert erreicht

^"$

f ¨ur

^{\[^]}

?

4. Nach welcher Zeit (gemessen von

^.7

) hat

^"Z

diesen Wert zu 95% erreicht?

5. Geben Sie die formale L¨osung f ¨ur den zeitlichen Konzentrationsverlauf

^"$

an.

Q _`badcL7e B R fcL7e B

g

(

WG YX

hi

g

;?8j`DadcL7k

TVU

ml