Beachten sie bitte die Punkteverteilung

Semester-Klausur – Physik II (Elektrodynamik) – SS 2003 18.7.2003

Beachten sie bitte die Punkteverteilung

Aufgabe Punkte Anwesenheit 1

1 28

2 15

3 17

4 15

5 24

Gesamt 100

Bei Aufgabe 1 und 5 ist die Punkteverteilung der einzelnen Teilaufgaben angegeben!

N¨ utzliche Formeln und Konstanten:

Volumenelement Kugelkoordinaten:

dV =r²·sinθ·dr·dθ·dφ; Integration ¨uber Kugeloberfl¨ache : 4π

log_ba= lna lnb

Lichtgeschwindigkeit: c= 3·10⁸m/s Permeabilit¨at des Vakuums µ0= 4π·10⁻⁷T²m³/J

Dielektrizit¨atskonstante des Vakuumsǫ₀ = 8.854187817·10⁻¹²C²/Jm

1. Kurze Fragen und Multiple Choice –mehrere Antworten m¨oglich

(a) (8P) Nennen sie die 4 Maxwellgleichungen in differentiellerund integraler Form.

(b) (1P) Die elektrische Ladung auf je zwei geladenen Partikeln wird verdoppelt.

Die elektrische Kraft zwischen ihnen (a) wird verdoppelt; (b) wird vervierfacht; (c) bleibt gleich; (d) keine der obigen Aussagen.

(c) (2P) Wir betrachten statische B- und E-Felder.

Welche Aussage trifft zu? Das elektrische Feld:

(a) gehorcht dem Superpositionsprinzip; (b) wird durch ein statisches B-Feld erzeugt;

(c) besitzt ein zugeh¨origes Potential, dessen Differenz einer Spannung entspricht; (d) ist im Plattenkondensator U/d; (e) ist im PlattenkondensatorU ·d!

(d) (2P) Eine isolierte Vollkugel

vom Radius R mit homogener Ladungsdichte wird betrachtet. Welche Kurve beschreibt die Abh¨angigkeit der Feldst¨arke E vom Abstand zum Kugelmittelpunkt?

(A),(B),(C),(D),(H) (e) (2P) Hufeisenmagnet!

Betrachten sie die skizzierte Anordnung aus Hufeisenmagnet und Draht. Im Draht fließt ein Strom I in der gezeichneten Rich- tung (technische Stromrichtung). Kreuzen sie die richtige(n) Antwort(en) an:

Die Kraft auf den Draht wirkt

(a) in positiver x-Richtung.

(b) in negativer x-Richtung.

(c) in positiver y-Richtung.

(d) in negativer y-Richtung.

(e) in positiver z-Richtung.

(f) in negativer z-Richtung.

(g) Es wirkt keine Kraft auf den Draht.

(f ) (2P) E- und B-Feld: Ein positiv geladenes Teilchen befindet sich in einem homoge- nen elektrischen und homogenen magnetischen Feld. Beide Feldrichtungen sind parallel.

Weitere Felder sind nicht vorhanden. Das Teilchen wird zun¨achst festgehalten und dann pl¨otzlich losgelassen. Das Teilchen bewegt sich (a) auf einem Kreis; (b) auf einer Parabel;

(c) auf einer Geraden; (d) auf einer Spiralbahn; (e) gar nicht.

(g) (3P) Dielektrikum im Kondensator!

Gegeben ist ein idealer Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Sei- tenl¨ange a=d. Ein Dielektrikum mit der Dielektrizit¨atskonstanten ǫwird so in den Kondensator geschoben, dass es das Volumen zwischen den Platten zur H¨alfte ausf¨ullt (s. Skizze).

Gesucht ist das Verh¨altnis ^C_C^D der Kapazit¨aten mit (CD) und ohne (C) Dielektrikum.

(a) ^C_C^D = 1 + 2ǫ; (b) ^C_C^D = ^1+ǫ₂ ; (c) ^C_C^D = 2ǫ; (d) ^C_C^D = _1+ǫ^2ǫ ; (e) ^C_C^D = _2(1+ǫ)¹ (h) (3P) Energieverbrauch

Der Kondensator in der Zeichnung mit der Kapazit¨at C ist aufgeladen.

Sie schließen den Schalter S. Nach welcher Zeit t1

2 ist die Energie im Plattenkondensator auf die H¨alfte ihres Anfangswertes abgeklungen?

(a) RC; (b) ¹₂RC; (c) ¹₄RC; (d) 3RCln2 (e) ¹₂RCln2

(i) (2P) Gl¨uhbirne: Sie wechseln eine 75W-Lampe mit einer 100W-Lampe aus. Was ist richtig? Der Widerstand der 100W-Lampe ist im Vergleich zur 75W-Lampe

(a) gr¨oßer. (b) kleiner. (c) genauso groß. (d) R= 0. (e) R=∞

(j) (2P) Feld im Plattenkondensator

Nebenstehend ist die Feldverteilung eines aufgelade- nen Plattenkondensators skizziert. Die drei Punkte 1, 2 und 3 sollen alle im homogenen Bereich des elek- trischen Feldes liegen. Dann gilt f¨ur die elektrischen Feldst¨arken E1, E2, E3 in diesen Punkten:

(a)E₁ =E₂ < E₃; (b)E1 =E3 < E2; (c)E₃ =E₂ < E₁; (d)E₂ =E₃ > E₁; (e)E1 =E2 =E3

(k) (1P)Welche Aussage trifft zu? Die Permeabilit¨atszahl paramagnetischer Stoffe ist (a) negativ; (b) positiv, aber sehr klein gegen 1; (c) etwas kleiner als 1; (d) etwas gr¨oßer als 1; (e) groß gegen 1;

2. Maxwellgleichungen ANGEWANDT –kartesisch (x, y, z;r =p

x²+y²+z²)

Betrachten sie ein zeitlich konstantes elektrisches FeldE~ von folgender Beschaffenheit!

E~ =α(z·x, z·y, z²−2·r²); α6= 0;

(a) Bestimmen sie durch die Anwendung der Maxwellgleichungen die zur Erzeugung not- wendigen Felder, bzw. Ladungsverteilungen, welche sind

̺ (Ladungsdichte), B~ und zugeh¨orige Stromdichte~j!

Hinweis : rot ~K=∇ ×(K_x, K_y, K_z) = ∂Kz

∂y − ∂Ky

∂z ,∂Kx

∂z −∂Kz

∂x ,∂Ky

∂x −∂Kx

∂y

(b) Welchen Wert (incl. Einheiten) muss α annehmen, damit E~ zur Zeit t = 1s durch eine Stromdichte von 1 A/m² inz-Richtung erzeugt wird?

(c) Ist obiges E~ ein konservatives Feld? Begr¨undung!

3. Bemannter Flug zum Mars

Nach der L¨osung der Energieprobleme der Menschheit durch den Schwarzschild-Generator ist es gelungen, das erste Großraumschiff f¨ur interplanetare Forschungsfl¨uge zu konstruieren.

Der aus 40 Mitgliedern bestehenden Besatzung obliegt es unter ihrem Kommando in wenigen Tagen den ersten bemannten Raum- flug zum Mars anzutreten. Eine Woche vor dem Start tritt jedoch ein Physiker des aus der Mode gekommenen Fachgebietes ’Welt- raumwetter’ an sie heran, um auf die Gefahr hochenergetischer Ionen hinzuweisen, die bei solaren St¨urmen von der Sonne ausge- stoßen werden. Als eine Abwehrmaßnahme schl¨agt er ihnen vor, die ¨außere H¨ulle Ihres d durchmessenden kugelf¨ormigen Raum- schiffes in einem solchen Fall elektrostatisch aufzuladen. Sie zie- hen sich f¨ur eigene Berechnungen (der Formeln) in Ihre Kabine zur¨uck:

(a) Mit der gerechtfertigten Annahme, dass die Form des Raumschiffes als eine leitende Hohlkugel gen¨ahert werden kann, m¨ussen sie zuerst das elektrische Feld berechnen, das bei einer homogenen Aufladung der Außenh¨ulle erzeugt wird. (Hinweis: Gaußscher Satz)

(b) Skizzieren sie den Feldverlauf vom Mittelpunkt des Schiffes bis r=∞.(qualitativ) (c) Damit stellt sich die wichtige Frage, welche Gesamtladung vorgesehen werden muss,

damit alle Ionen (Protonen) bis zu einer Energie von 10 M eV aus dem Unendlichen noch vor der H¨ulle des Schiffes gestoppt werden k¨onnen - also ihre gesamte Energie bei radialem Einfall bis zur Oberfl¨ache des Schiffes verloren haben.

(d) Um den Fragen der Bordingenieure zuvor zu kommen, sollten sie auch gleich die resul- tierende Oberfl¨achenladungsdichteσO auf der Außenh¨ulle berechnen.

4. Definition von 1 Ampere (A) — Auszug aus dem Gesetzestext:

———————————————————————————————- 2. Gesetzliche Maßeinheiten sind:

(1) Basiseinheiten:

. . . .

4. f¨ur die elektrische Stromst¨arke das Ampere (A), das gleich ist der St¨arke des elektrischen Stromes, der durch zwei geradlinige, d¨unne, unendlich lange Leiter, die in einer Entfernung von 1 Meter parallel zueinander im leeren Raum angeordnet sind, unver¨anderlich fließend bewirken w¨urde, daß diese beiden Leiter aufeinander eine Kraft von 0,0000002 Newton (2x10 hoch -7 N) je 1 Meter L¨ange aus¨uben;

Bundesgesetz vom 13. Dezember 1988, mit dem das Maß- und Eichgesetz ge¨andert wird.

———————————————————————————————-

(a) Skizzieren sie diese Anordnung und berechnen sie mit diesem Wissen µ₀ und mit der

“bekannten Relation“ via Lichtgeschwindigkeit c die Gr¨oßeǫ₀.

(b) Ein Elektron e⁻ fliegt parallel zwischen den beiden Leitern, 10 cm von einem der beiden entfernt in konventionelle Stromrichtung! Wird dase⁻ zur Mitte der beiden Leiter oder außen abgelenkt (mit Begr¨undung, keine Rechnung!)?

5. Widerstands-, Kapazit¨ats-, Stromkreise (a) (3P) Widerstandsnetzwerk

Geben sie den Widerstand zwischen Punkt A und B an!

R₁ R₂

R₃ R₄

R₅ R6

A B

(b) (3P) Kapazit¨atsnetzwerk

Geben sie die Kapazit¨at zwischen Punkt A und B an!

C2

C3

C4

C6

C1

C₅ A

B

(c) (10P) Widerstandsmessung (spannungs- und stromrichtige Schaltung)

Angenommen, es stehen ihnen ein Amperemeter und ein Voltmeter mit den Innenwi- derst¨anden R_iA= 10Ω undR_iV = 1kΩ zur Verf¨ugung.

Zeichnen sie die Diagrammezur spannungs- und stromrichtigen Messung an! Wie groß ist jeweilsder relative Fehler ^∆R_R = ^R−R_R^mess bei der Messung eines WiderstandesR= 1kΩ, wenn die Innenwiderst¨ande unber¨ucksichtigt bleiben?

(d) (6P) Kirchhoffsche Gesetze und WHEATSTONEsche Br¨uckenschaltung!

Geben sie 5 linear unabh¨angige Gleichungen f¨ur die Knoten (A,B), bzw. Maschen (a,b,c) dieses Stromkreises an!

Welche Beziehung muss f¨urR1, ...R₄ f¨ur die abgeglichene (I = 0) Br¨ucke gelten? (Rechnung nicht erforderlich!)

A

B

a b

c

(e) Wozu wird die WHEATSTONEsche Br¨uckenschaltung genutzt (Anwendung)?

Semester-Klausur – Physik II (Elektrodynamik) – SS 2003 18.7.2003 1. Kurze Fragen und Multiple Choice – mehrere Antworten m¨oglich

(a) Maxwellgleichungen in integraler Form:D~ =ǫ0E~;B~ =µ0H~ ist ok, auf die Gr¨oßen P~ und M~ lege ich hier keinen großen Wert, aber die Vektorpfeile sind n¨otig, und die Richtige Zuordnung von ǫ0 und µ0. (auch die Abh¨angigkeiten von ~r und t m¨ussen hier nicht explizit stehen, die sind selbstverst¨andlich!

I

∂F

H~ ·d~l= R R

FJ~·d ~F+ _dt^d R R

FD~ ·d ~F (1) I

∂F

E~ ·d~l= −_dt^d R R

FB~ ·d ~F (2) Z Z

∂V

D~ ·d ~F = R R R

V ̺dV (3)

Z Z

∂V

B~ ·d ~F = 0 (4)

Maxwellgleichungen in differentieller Form: Ubergang mittels Gauss’schen bzw.¨ Stoke’schem Satz!!!

∇ ×H(~r, t) =~ rot ~H(~r, t) = J~(~r, t) + ∂

∂tD(~r, t)~

∇ ×E(~r, t) =~ rot ~E(~r, t) = −∂

∂tB~(~r, r)

∇ ·D(~r, t) =~ div ~D(~r, t) = ̺(~r, t)

∇ ·B(~r, t) =~ div ~B(~r, t) = 0 (b) b (vervierfachtQq)

(c) a,c,d (d) C

(e) f (Rechte-Hand-Regel) (f ) c

(g) d

(h) e) (Achtung: es wurde nach der Energie gefragt, die geht mit U²) Q∼e^−RCt ; E = ¹₂CU² = ¹_2C^C2Q²∼e^−RC2t

Q0e^−RC2t =Q01

2 ⇒ln 2 = _RC^2t ⇒t= ¹₂RCln 2

(i) b) (U =const, P =U·I ⇑ →I ⇑⇒R⇓(U =R·I) (j) e (E~ =konst.)

(k) d) Zusatz(nicht gefragt): Die Magnetisierung von paramagnetischen Stoffen ist im All- gemeinen nur schwach, das heißtµr ist nur wenig gr¨oßer als eins. Allerdings reicht diese Magnetisierung, um den gleichzeitig vorhandenen Diamagnetismus aus den induzierten bahnmagnetischen Dipolmomenten zu ¨uberdecken. Auch in paramagnetischen Stoffen verschwindet beim Abschalten von B~ext die Magnetisierung.

(a)

div ~E= ̺ ǫ0

;

div ~E =α(z+z+ 2z−4z) = 0⇒̺= 0 rot ~E=−d ~B

dt ;

rot ~E =α(−4y−y, x+ 4x,0) = 5α(−y, x,0) Integration nach t

−B~ = 5α(−y, x,0) Z

dt= 5α(−y, x,0)·t+~k(konst.) rot ~B=µ0~j

rot ~B = 5αt(0,0,−1−1) ⇒~j=−10αt µ0

(0,0,1) (b) inz-Richtung zur Zeitt= 1s:

j = 1A/m²=−10_µ^α₀ ⇒α=−₁₀^µ0_m^A2 =−^4π10_m⁻⁸2^TJ^2m3 =−^4π10−_J^8T2m = mitµ0 = 4π10^−7T2_J^m3 und 1T = 1N/Am= 1V s/m²

(c) NEIN, es ist NICHT konservativ, da rot ~E6= 0.

Gefragt: elektrisches Feld:

(a) Berechnung der Hohlkugel:

Hohlkugel ⇒Kugel-(bzw. Rotations)symmetrie ⇒ reiner-Abh¨angigkeit!

Achtung: Innenfeld ist in Teil a) nicht gefragt!Trotzdem: Innen: Feldfrei:E= 0 – bekannt!

Oder f¨urr≤RgiltR E~·d~S= 0 f¨ur jede beliebige geschlossene Fl¨ache, da es keine Ladungstr¨ager im “inneren“ jedesr≤R gibt.⇒

E~ = 0⇒φ=const.

Aussenraum: GAUSS: F¨urr≥R gilt Q

ǫ0 Gauss

= Φ = Z

E~ ·d~S^integriert= 4πr²E⇒E~ = Q

4πǫ0r²rˆ (1) mitd~S als Oberfl¨achenintegral ¨uber die Kugelschale mit 4πr² als Ergebnis!

(b) Skizze:

(nur E gefragt, oberer Teil)

(c) Teilchen mit der Energie 10M eV aus dem unendlichen bis r= 80m!

Mache ausE ⇒φvia Integration:

10M eV =qφ(r) =q Z ^∞

r

E·dr= qQ

4πǫ0r (2)

⇒Q= 4πǫ0·r·10M eV q

P rotonenladung e

= 4πǫ0·r·10M V (3)

(d) Oberfl¨achenladungsdichte

σ0 = Q O = Q

4πr² = 10M V ·ǫ0

r (4)

(a) Skizze!

Magnetfeld um einen Leiter: (geht auch via Biot-Savart) I

∂F

H~ ·d~l= Z Z

F

J~·d ~F; D~ = 0 (5) Fl¨achenstromdichte ¨uber die Fl¨ache integriert ergibt den Gesamtstrom I

Magnetfeld Linienintegral geht um den Leiter ((Kreis) radialsymmetrisch, d.h. nur von

r abh¨angig) Z 2π

0

r·H·dϕ= 2π·r·H=I (6) Magnetfeld um Leiter (B~ =µ0H)~

H = I

2π·r; B = µ0·I

2π·r (7)

Kraft des B-Felds auf einen Leiter:

d ~F =Id~l×B~ (8)

F~ =I~l×B~ ^l⊥=^B µ0I1·I2·l 2πr

~r

r (9)

A la Newton 3 erfahren beide Leiter diese Kraft.

Hier: mit I1 =I2 = 1A; r = 1m; l= 1m F = 2·10⁻⁷N aufgel¨ost nachµ0: µ0 = 2N ·2π·10⁻⁷

A²

exakt

= 4π·10⁻⁷N

A² (10)

µ0ǫ0c²= 1 → ǫ0= 1·10⁷ 4π·9·10¹⁶

A²s²

N m² = 1·10⁻⁹ 4π·9

A²s²

N m² = 8.85·10⁻¹²C²

Jm (11) (b) Nach Innen

Widerstands-, Kapizit¨ats-, Stromkreise

(a) Widerst¨ande: R6 ||R5 || (R2+R3+R4) in Reihe zuR1 Parreleler Teil:

1 R_E = 1

R6

+ 1 R5

+ 1

R2+R3+R4

= R5·R6+ (R5+R6)·(R2+R3+R4)

R5·R6·(R2+R3+R4) (12) R_ges =R1+R_Ersatz =R1+ R5·R6·(R2+R3+R4)

R5·R6+ (R5+R6)·(R2+R3+R4) (13) (b) Kapazit¨aten: C2, C3 ||C4, C5 ||C6 in Reihe zuC1,C2 reihe C3 C4 reihe C5

1 C23

= 1 C2

+ 1

C3 ⇒C23= C2·C3

C2+C3

; analog C45= C4·C5

C4+C5

(14)

CE =C23+C45+C6 (15)

1 Cges

= 1 C1

+ 1 CE

= 1 C1

+ 1

C23+C45+C6

= 1 C1

+ 1

C2·C3

C2+C3 +_C^C₄⁴_+C^·C5₅ +C6

(16) (c) Strom- und Spannungsrichtige Schaltungen:

(a) Spannungsrichtige Schaltung (b) Stromrichtige Schaltung Ausgangspunkt: ∆R=R−Rmess

Ohmsches Gesetz U =RI ⇒R= ^U_I R= 1kΩ; R_iV = 1kΩ; R_iA= 10Ω

• Spannungsrichtig:

In Schaltung (a) fließt durch die Parallelschaltung aus den Widerst¨andenRundRiV

an denen die SpannungU1 abf¨allt, der Strom:

Fehler: es wird der Strom durch den Widerstand, als auch der Strom durch das Voltmeter gemessen!

U =Umess; Imess=IR+IiV = U R+ U

R_iV ⇒Rmess= U

U R+_R^U

iV

= R·RiV

R+R_iV = 0.5kΩ (17) Hier:

∆R

R = R−_R^R₊^·R_R^iV

iV

R = 1−0,5

1 = 0.5 = 50% (18)

• Stromrichtig:

Fehler: die gemessene Spannung f¨allt am Widerstand, als auch am Amp-meter ab!

I =Imess; Umess=I·R+I·RiA=I(R+RiA)⇒Rmess= I(R+RiA)

I =R+RiA= 1,01kΩ (19)

∆R

R =|R−(R−RiA)

R |= 0.01

1 = 0.01 = 1% (20)

(d) WHEATSTON 2 Knoten, 3 Maschen!

A I3−I4−I = 0 B I1+I−I2 = 0

c R1I1+R2I2 =U_B a −R1I1+R3I3+RI = 0

b R4I4+R2I2−RI = 0 (I = 0)

R1

R2

= R3

R4

(e) Zur genauen Widerstandsmessung! Aus dem Verh¨altnis bekannter Widerst¨ande l¨aßt sich der gefragte Widerstand ausrechnen, bei einem bekannten Strom (im Standardfall NULL, Stromabgleichung auf NULL sehr genau!)