Prof. Dr. Thomas Hoch
7. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
7.1 Unendlich dünner Leiter
Ein unendliche langer unendlich dünner Leiter entlang der z-Achse wird von einem Strom I in z-Richtung durchflossen.
a) Berechnen Sie das Magnetfeld B im Abstand r vom Leiter, indem das Ampèresche Gesetz auf eine Kreisscheibe mit Radius r anwenden, deren Mittelpunkt auf der z-Achse liegt und die senkrecht darauf steht. Gehen Sie dabei von folgenden Annahmen aus:|B| hängt nur vom Abstandr ab und B zeigt in Richtung der Kreistangente, d. h. in eφ-Richtung.
b) Berechnen Sie das Vektorpotential A als Integral über die Stromdichte:
A(r) = 1 c
Z j(r0)
|r−r0| d
3r0
Dabei können Sie das Integral über den Raum direkt in ein Integral über die z-Achse um- wandeln. Zur Berechnung dieses Integrals können Sie sich an Aufgabe 4.2 orientieren.
c)Berechnen Sie aus dem Vektorpotential das Magnetfeld und vergleichen Sie mit Teil a).
7.2 Zylindrischer Leiter
Ein unendliche langer zylindrischer Leiter mit RadiusRwird von einem Strom I durchflossen.
Der Strom soll sich dabei gleichmäßig auf die Querschnittsfläche des Leiters verteilen.
I R
Berechnen Sie wie in Aufgabe 7.1 a) mit Hilfe des Ampèreschen Gesetztes das Magnetfeld B in einem Abstand r von der Achse des Leiters (= z-Achse). Gehen Sie auch hier von den Annahmen aus, dass |B| nur vom Abstand r abhängt und dass B in Richtung eφ zeigt.
12
7.3 Spiegelladung bei leitender Kugel
Befindet sich eine Punktladungq außerhalb einer leitenden Kugel oder Kugeloberfläche (mit Potential0), so kann das resultierende Randwertproblem mit Hilfe der Methode der Spiegel- ladungen gelöst werden.
x y
q x0
q0 x00 R
a) Berechnen Sie Größe und Lage der Spiegelladung. Um diese zu bestimmen, muss man ausnutzen, dass das Potential beider Ladungen auf der Kugeloberfläche verschwindet. Dazu reicht es, einen Schnitt durch die Ladung und den Kugelmittelpunkt zu legen (xy-Ebene).
Zweckmäßigerweise legt man den Kugelmittelpunkt in den Ursprung und die Ladung q auf die x-Achse. Die gesuchte Spiegelladung befindet sich dann ebenfalls auf der x-Achse.
b) Wie groß ist die Gesamtladung auf der Kugeloberfläche? Begründung?
c)Wie groß ist die Flächenladungsdichteσauf der Kugeloberfläche in Abhängigkeit vom Ort?
d) Die Annahme, dass das Potential auf der Kugeloberfläche gleich 0 ist (wobei wir auch davon ausgehen dass das Potential im Unendlichen verschwindet), ist nur dadurch zu ge- währleisten, dass die Kugel „geerdet“ ist, d. h., dass sich so viele Ladungen von außerhalb auf die Kugeloberfläche bewegen können, dass das Potential0ist. Ist die Kugel nicht geerdet, so bleibt Ihre Gesamtladung gleich, d. h., wenn sie vorher ungeladen war (was wir annehmen), so ist sie auch nach Annäherung der Ladung q ungeladen. Als Randbedingung hat man dann, dass das Potential auf der Kugeloberfläche konstant sein muss. Wie kann man mit a) und b) eine Lösung dieses Randwertproblems finden?
13
