Da meist davon gesprochen wird, dass e = e(0, . . . , 0) sein soll, kann man anneh- men, dass mit der Parametrisierung wohl die Exponentialabbildung gemeint ist.

3.Teil: Symmetrien

In Physikb¨ uchern wird eine Liegruppe beschrieben als eine Gruppe G, deren Ele- mente von n Parametern abh¨ angen: g = g(a ₁ , . . . , a _n ).

Ist g ₁ = g ₁ (a ₁ , . . . , a _n ), g ₂ = g ₂ (b ₁ , . . . , b _n ) und g = g ₁ g ₂ , so ist g = g(c ₁ , . . . , c _n ), mit analytischen (?) Funktionen c _i = c _i (a ₁ , . . . , a _n ; b ₁ , . . . , b _n ), f¨ ur i = 1, . . . , n. Analog wird die Inversenbildung beschrieben. Komplizierter geht’s kaum, und zudem ist es irref¨ uhrend. Denn im allgemeinen l¨ asst sich eine Liegruppe nicht parametrisieren, das gilt h¨ ochstens – wie wir aus Kapitel 2, §1, wissen – f¨ ur eine Umgebung des neutralen Elements.

Da meist davon gesprochen wird, dass e = e(0, . . . , 0) sein soll, kann man anneh- men, dass mit der Parametrisierung wohl die Exponentialabbildung gemeint ist.

Ganz sicher ist das aber nicht.

Beispiele.

1. Die Elemente von SO(2) sind die Drehmatrizen R(t) =

cos t − sin t sin t cos t

, parametrisiert durch t ∈ R .

2. Die Gruppe SO(3) wird durch die Eulerschen Winkel parametrisiert. F¨ ur O(3) = SO(3) × Z ² wird als 4. Parameter die Determinante ±1 genannt.

3. Die Elemente von SU(2) sind die Matrizen U (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) := exp i

3

X

ν=1

ε ν σ ν

! ,

wobei die σ _ν die Pauli-Matrizen sind.

Symmetrien von physikalischen Systemen werden durch Darstellungen von Lie- gruppen auf dem Hilbertraum der Zust¨ ande beschrieben. Da jede Darstellung einer kompakten Liegruppe ¨ aquivalent zu einer unit¨ aren Darstellung ist, beschr¨ ankt man sich weitgehend auf Untergruppen von unit¨ aren Gruppen.

Die irreduziblen Unterr¨ aume des Hilbertraums sind endlich-dimensional (vgl. Satz von Peter und Weyl, Anhang E.7). Nach dem Satz von Stone (Anhang E.12) kann jede (stark stetige) einparametrige Schar U (t) von unit¨ aren Operatoren in der Form U (t) = e ^{i tA} geschrieben werden, mit einem selbstadjungierten Operator A, also einer Observablen. Man kann dann allgemein f¨ ur Elemente der Gruppe G schreiben:

g(a ₁ , . . . , a _n ) = exp

n

X

ν=1

i a _ν X _ν

! ,

mit X _ν := − i lim

h→0

1

h (g(0, . . . , h, . . . , 0) − g(0, . . . , 0)) = −i ∂g

∂a ν

a=0

. Am Beispiel

der Gruppe SU (2) wurde das oben schon demonstriert.

Die Elemente X _ν werden als Generatoren der Gruppe bezeichnet. Es handelt sich dabei nicht um Erzeugende der Liealgebra von G, das w¨ aren vielmehr die Elemente i X _ν . Das ist eine Quelle f¨ ur viele Mißverst¨ andnisse. Ist eine Basis {Y ₁ , . . . , Y _n } der Liealgebra gegeben, so gibt es eine Beziehung

[Y _i , Y _j ] = X

k

c ^k _ij Y _k .

Die Koeffizienten c ^k _ij nennt man die Strukturkonstanten der Liealgebra. In der phy- sikalischen Version schreibt man:

[X _i , X _j ] = i X

k

C _ij ^k X _k .

Preisfrage: Welche Beziehung besteht zwischen c ^k _ij und C _ij ^k ? Casimir-Operatoren:

Sei L eine (abstrakte) Liealgebra mit Basis {Y ₁ , . . . , Y _n }, T die Tensoralgebra von L und J ⊂ T das zweiseitige Ideal, das von den Elementen x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]

(mit x, y ∈ L) erzeugt wird. Dann nennt man U = U (L) := T /J die universelle einh¨ ullende Algebra von L. Diese Algebra ist assoziativ, und es gibt eine kanonische lineare Abbildung i _L : L → U , so dass gilt:

1. i _L ([x, y]) := i _L (x)i _L (y) − i _L (y)i _L (x) f¨ ur x, y ∈ L.

2. i _L ist injektiv.

3. U wird von 1 und den Produkten i _L (Y _i

) · · · i _L (Y _i

), i ₁ ≤ . . . ≤ i _k , erzeugt.

4. Ist A eine assoziative Algebra mit 1 und j : L → U eine lineare Abbil- dung mit j ([x, y]) = j(x)j(y) − j(y)j(x), so gibt es genau einen Algebra- Homomorphismus ϕ : U → A mit ϕ ◦ i _L = j .

Man kann also jede Liealgebra als Unteralgebra einer assoziativen Algebra auffas- sen, so dass dabei das Liesche Klammerprodukt zum gew¨ ohnlichen Kommutator wird. Der Beweis ist nicht trivial, es handelt sich um das fundamentale Poincar´ e- Birkhoff-Witt-Theorem. Man kann die einh¨ ullende Algebra mit der Algebra der linksinvarianten Differentialoperatoren identifizieren.

Definition.

Sei % : L → End(V ) eine treue Darstellung, β : L × L → R definiert durch β(x, y) := Spur(%(x) ◦ %(y)). Es sei vorausgesetzt, dass β nicht entartet ist, sowie {Y ₁ ^∗ , . . . , Y _n ^∗ } die

” reziproke Basis“ mit β(Y ν , Y _µ ^∗ ) = δ νµ . Dann heißt c _% := P

ν %(Y _ν ) ◦ %(Y _ν ^∗ ) das Casimir-Element von %.

F¨ ur Elemente f, g, h ∈ End(V ) ist

[f, gh] = f gh − ghf = (f g)h − (gf)h + g(f h) − g(hf ) = [f, g]h + g[h, f ].

F¨ ur Elemente x, y, z ∈ L ist

β([x, y], z) = Spur(%(x)%(y)%(z)) − Spur(%(y)%(x)%(z))

= Spur(%(x)%(y)%(z)) − Spur(%(x)%(z)%(y))

= β(x, [y, z]).

Also gilt f¨ ur x ∈ L mit [x, Y _ν ] = P

µ a _νµ Y _µ und [x, Y _ν ^∗ ] = P

µ b _νµ Y _µ ^∗ : a _νλ = X

µ

a _νµ β(Y _µ , Y _λ ^∗ ) = β([x, Y _ν ], Y _λ ^∗ )

= −β([Y _ν , x], Y _λ ^∗ ) = −β(Y _ν , [x, Y _λ ^∗ ])

= − X

µ

b _λµ β(Y _ν , Y _µ ^∗ ) = −b _λν .

und daher

[%(x), c _% ] = X

ν

[%(x), %(Y _ν )%(Y _ν ^∗ )]

= X

ν

[%(x), %(Y _ν )]%(Y _ν ^∗ ) + X

ν

%(Y _ν )[%(x), %(Y _ν ^∗ )]

= X

ν,µ

a _νµ %(Y _µ )%(Y _ν ^∗ ) − X

ν,µ

b _νµ %(Y _ν )%(Y _µ ^∗ )

= 0.

Das Casimir-Element von % ist also mit allen Elementen von %(L) vertauschbar.

Außerdem kann man zeigen, dass es unabh¨ angig von der Basis ist. Ist % irreduzibel, so folgt aus dem Schurschen Lemma, dass c _% ein Skalar ist.

Ist % = ad die adjungierte Darstellung einer Liealgebra g, so ist β die Killing-Form.

Im Falle einer halbeinfachen Liealgebra ist diese nicht entartet.

H¨ aufig wird jedes Element aus dem Zentrum der einh¨ ullenden Algebra U als Casimir-Operator bezeichnet. Ist S(L) = L

q S ^q (L) die symmetrische Tensoral- gebra von L, so gibt es einen Vektorraumisomorphismus ω : S(L) → U (L) mit folgender Eigenschaft:

Ist ω e _q : L × · · · × L → U (L) die symmetrische q-fach multilineare Abbildung

ω e _q : (x ₁ , . . . , x _q ) 7→ 1 q!

X

σ∈S

i _L (x _σ(1) ) · · · i _L (x _σ(q) ),

so gibt es genau eine lineare Abbildung ω q : S ^q (L) → U (L) mit

ω _q (x ₁ ⊗ . . . ⊗ x _q ) = e ω _q (x ₁ , . . . , x _q ),

und f¨ ur T ∈ S ^q (S) ist ω(T ) = ω _q (T ).

Jedes Element x ∈ L operiert auf U (L) durch die adjungierte Darstellung:

(ad x)u := [x, u] = xu − ux, f¨ ur u ∈ U (L).

ad x ist eine Derivation, ad ist eine Darstellung von L in U (L). Der Vektor- raum U (L) ^L = {u ∈ U (L) : (ad x)u = 0 ∀ x ∈ L} der invarianten Elemen- te stimmt mit dem Zentrum Z( U (L)) ¨ uberein. Andererseits kann die adjungier- te Darstellung ad : L → End(L) zu einer Derivation der symmetrischen Alge- bra S(L) fortgesetzt werden. Dann induziert ω einen Vektorraum-Isomorphismus ω : S(L) ^L → Z( U (L)), was eine neue Beschreibung der Casimir-Operatoren liefert. Der Raum dieser Operatoren ist isomorph zum Raum der (rechts- und links-)invarianten Differentialoperatoren. Ist L = L(G), so kann man zeigen, dass dim Z ( U (L)) = rg(G) ist. Insbesondere gibt es f¨ ur SU(2) und SO(3) bis auf Viel- fache genau einen Casimir-Operator (eben das Casimir-Element zur adjungierten Darstellung).

Die Pauli-Matrizen σ _ν stellen Generatoren der SU(2) dar. Sie erf¨ ullen die Vertau- schungsrelationen

σ ₁ σ ₂ = i σ ₃ , σ ₂ σ ₃ = i σ ₁ und σ ₃ σ ₁ = i σ ₂ .

Es handelt sich also um verallgemeinerte Drehimpuls-Operatoren J ₁ , J ₂ , J ₃ , und J ² = J ₁ ² + J ₂ ² + J ₃ ² ist der Casimir-Operator.

Generatoren f¨ ur SO(3) sind die Matrizen

L ₁ =





0 0 0

0 0 i

0 −i 0



 , L ₂ =





0 0 −i

0 0 0

i 0 0



 und L ₃ =





0 i 0

−i 0 0

0 0 0



 .

Auch sie erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen verallgemeinerter Drehimpulsopera- toren, L ² = L ² ₁ + L ² ₂ + L ² ₃ ist der Casimir-Operator.

Multipletts:

Wird eine physikalische Symmetrie durch die Darstellung einer Liegruppe G auf dem Hilbertraum der Zust¨ ande beschrieben, so versteht man unter einem Multiplett einen irreduziblen invarianten Unterraum bez¨ uglich dieser Darstellung.

Ist G halbeinfach, so besagt ein Satz von Racah: Ist rg(G) = r und {L ₁ , . . . , L _n } ein System von (linear unabh¨ angigen) Generatoren, so gibt es r linear unabh¨ angi- ge Casimir-Operatoren C _% (L ₁ , . . . , L _n ), % = 2, 3, . . . , r + 1, deren Eigenwerte c ₂ , . . . , c _r+1 (¨ uber die zugeh¨ origen Eigenr¨ aume) die Multipletts bestimmen. Denn weil die Casimir-Operatoren mit allen Symmetrien vertauschen, stellen ihre Ei- genr¨ aume invariante irreduzible Unterr¨ aume dar.

Symmetrien und Erhaltungss¨ atze:

Jeder Erhaltungssatz f¨ ur ein quantenmechanisches System liefert die Invarianz des zugeh¨ origen Hamilton-Operators unter einer geeigneten Symmetriegruppe. Die Umkehrung gilt nicht allgemein (z.B. entspricht die Invarianz unter der antiunit¨ aren Zeitumkehr keinem Erhaltungssatz), wohl aber bei unit¨ aren Gruppen.

Sei U (t) = e ^{i tA} eine unit¨ are Transformation. Dass der Hamilton-Operator H inva- riant unter U (t) ist, bedeutet:

U (t) · H · U (t) ⁻¹ = H (oder: [H, U(t)] = 0).

Ist ϕ Eigenfunktion von H mit (Energie-)Eigenwert E, also Hϕ = Eϕ, und setzt man H ⁰ := U (t)HU(t) ⁻¹ und ϕ ⁰ := U (t)ϕ, so ist auch H ⁰ ϕ ⁰ = Eϕ ⁰ . Ist H invariant, also H ⁰ = H, so folgt: ϕ ⁰ ist ebenfalls Eigenfunktion zum Eigenwert E. Unter einem Multiplett versteht man manchmal auch eine ON-Basis eines irreduziblen Eigenraumes des Hamilton-Operators zu einem festen Energiewert.

Wir betrachten jetzt Beispiele von Symmetrien. Dabei sei hier schon angemerkt, dass es exakte (also immer g¨ ultige) Symmetrien gibt, wie z.B. die durch das Gesetz von der Ladungserhaltung bestimmte Symmetrie. Andere Symmetrien gelten nur

” n¨ aherungsweise“. So ist z.B. der Isospin invariant unter der starken Wechselwir- kung, aber nicht unter der elektromagnetischen Wechselwirkung.

1. Die Symmetrie unter gewissen Lorentz-Transformationen entspricht z.B. der Erhaltung des Energie-Impuls-Tensors oder des r¨ aumlichen Drehmoments.

2. Die Symmetrie unter geeigneten

” Eichtransformationen“ liefert die Erhaltung der Ladung Q, der Baryonenzahl B bzw. der Leptonenzahlen L e und L µ . 3. Das Spin-Statistik-Theorem gibt Auskunft ¨ uber das Verhalten von Systemen

identischer Teilchen unter Permutationen (Symmetrie bei ganzzahligem Spin, Antisymmetrie bei halbzahligem Spin).

4. Die Raumspiegelung P entspricht der Erhaltung der Parit¨ at. Sie gilt nur n¨ ahe- rungsweise. Das gleiche gilt bei der Ladungskonjugation C, die ein Teilchen in sein Antiteilchen ¨ uberf¨ uhrt. Sie entspricht der Erhaltung der C-Parit¨ at. Zur Zeitumkehr gibt es keinen Erhaltungssatz. Ein ber¨ uhmter Satz von Streater- Wightman besagt: Die Kombination CP T ist eine exakte Symmetrie.

5. Die Isospin-Symmetrie ist – wie oben schon erw¨ ahnt – nicht exakt. Bei den Elementen eines Multipletts denkt man daher nicht an verschiedene Zust¨ ande eines Teilchens, sondern an verschiedene Teilchen (hier speziell an Proton und Neutron). Der Isopspin I = (I 1 , I 2 , I 3 ) bleibt erhalten bei

” Rotation“

im Isospin-Raum, d.h. bei Wirkung von SU(2). Diese Invarianz gilt nur bei starker Wechselwirkung und wird gebrochen durch elektromagnetische Wech- selwirkung.

6. F¨ ur die Ladung Q gilt die Gleichung

Q = I ₃ + 1 2 Y.

Dabei ist Y die

” Hyperladung“.

7. Der Spin S = (S ₁ , S ₂ , S ₃ ) liefert genau wie der Bahndrehimpuls einen Anteil vom Gesamtdrehimpuls. Die Komponenten verhalten sich wie die eines ver- allgemeinerten Drehimpulsoperators. Die Eigenwerte des Casimir-Operators S ₁ ² + S ₂ ² + S ₃ ² nehmen die 2s + 1 Werte s, s − 1, . . . , −s an. Dabei ist s eine ganze Zahl oder eine Halb-Zahl. Ist s = 1/2, so kann man S mit Hilfe der Pauli-Matrizen beschreiben:

F¨ ur Systeme mit identischen Teilchen f¨ uhrt man im Rahmen der

” zweiten Quan- tisierung“ Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a ⁺ _j und a ⁻ _j ein. Es gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:

a ⁻ _j a ⁺ _k − a ⁺ _k a ⁻ _j = δ jk (im Falle von Bosonen) und a ⁻ _j a ⁺ _k + a ⁺ _k a ⁻ _j = δ _jk (im Falle von Fermionen).

Dabei bezeichnet der Index jeweils einen bestimmten Quantenzustand des Teil- chens.

Es gibt auch Gruppen von Teilchen, deren Mitglieder als verschiedene verallgemei- nerte Quantenzust¨ ande aufgefasst werden k¨ onnen. Etwa im Falle der Nukleonen gibt es die Zust¨ ande p (Proton) und n (Neutron).

Der ¨ Ubergang von einem Zustand der Sorte k zum Zustand j wird durch den Operator T _jk := a ⁺ _j a ⁻ _k beschrieben. Bedeuten die Zust¨ ande Teilchen einer gewissen Sorte, so wird ein Teilchen der Sorte k vernichtet und ein Teilchen der Sorte j erzeugt. Es gilt:

[T _jk , T _rs ] = T _jk T _rs − T _rs T _jk

= a ⁺ _j a ⁻ _k a ⁺ _r a ⁻ _s − a ⁺ _r a ⁻ _s a ⁺ _j a ⁻ _k

= a ⁺ _j (±a ⁺ _r a ⁻ _k + δ _kr )a ⁻ _s − a ⁺ _r (±a ⁺ _j a ⁻ _s + δ _sj )a ⁻ _k

= a ⁺ _j a ⁻ _s δ _kr − a ⁺ _r a ⁻ _k δ _sj ,

denn es ist a ⁺ _j a ⁺ _r = a ⁺ _r a ⁺ _j und a ⁻ _k a ⁻ _s = a ⁻ _s a ⁻ _k . Das Ergebnis gilt f¨ ur Bosonen und Fermionen.

Gibt es d verschiedene Teilchensorten, so gibt es d ² Operatoren T _jk . Wir betrachten den Operator

N :=

d

X

i=1

a ⁺ _i a ⁻ _i .

Er setzt sich zusammen aus den Operatoren N _i := a ⁺ _i a ⁻ _i , die man auch als

Besetzungszahl-Operatoren bezeichnet. Bei Fermionen sind alle Zust¨ ande, in de-

nen ein Teilchen der Sorte i vorkommt, Eigenvektoren von N _i zum Eigenwert 1,

die anderen Eigenvektoren zum Eigenwert 0. Hier zeigt sich das Pauli-Prinzip. Bei Bosonen ist ein Zustand, der n Teilchen der Sorte i umfasst, ein Eigenvektor von N _i zum Eigenvektor n. Also liefert N in jedem Zustand die Gesamt-Teilchenzahl.

Man kann N als konstante ganze Zahl (multipliziert mit der Identit¨ at) auffassen.

F¨ ur j 6= k ist offensichtlich

[T _jk , N] =

d

X

i=1

[T _jk , T _ii ]

=

d

X

i=1

a ⁺ _j a ⁻ _i δ _ki − a ⁺ _i a ⁻ _k δ _ij

= a ⁺ _j a ⁻ _k a ⁺ _j a ⁻ _k = 0.

Das korrespondiert mit der Tatsache, dass die Vertauschungsoperatoren T _jk die Gesamt-Teilchenzahl nicht ver¨ andern. Die Zahl der unabh¨ angigen Operatoren T _jk reduziert sich auf d ² − 1.

Betrachtet man ein Nukleon (also ein einzelnes Teilchen) mit den zwei m¨ oglichen Zust¨ anden p und n, so gilt:

a ⁺ _p a ⁻ _p + a ⁺ _n a ⁻ _n = id.

Da es sich um Teilchen mit Spin 1/2, also Fermionen handelt, ist außerdem a ⁺ _p a ⁻ _n + a ⁻ _n a ⁺ _p = 0 ,

a ⁺ _n a ⁻ _p + a ⁻ _p a ⁺ _n = 0 ,

a ⁻ _n a ⁺ _n = 1 − a ⁺ _n a ⁻ _n , und a ⁻ _p a ⁺ _p = 1 − a ⁺ _p a ⁻ _p . Man f¨ uhrt nun neue Operatoren ein:

τ ₊ := a ⁺ _p a ⁻ _n (Erh¨ ohung des Isospins um 1), τ − := a ⁺ _n a ⁻ _p (Erniedrigung des Isospins um 1), und τ ₀ := a ⁺ _p a ⁻ _p − a ⁺ _n a ⁻ _n .

Es ergeben sich folgende Vertauschungsrelationen:

[τ ₀ , τ ± ] = ±2τ ± und [τ ₊ , τ − ] = τ ₀ . Zum Beweis z.B.:

Es ist [τ ₊ , τ − ] = a ⁺ _p a ⁻ _n a ⁺ _n a ⁻ _p − a ⁺ _n a ⁻ _p a ⁺ _p a ⁻ _n

= (a ⁺ _p a ⁻ _p − a ⁺ _n a ⁻ _n ) − a ⁺ _p a ⁺ _n a ⁻ _n a ⁻ _p + a ⁺ _n a ⁺ _p a ⁻ _p a ⁻ _n

= τ ₀ − a ⁺ _p a ⁺ _n a ⁻ _n a ⁻ _p + a ⁺ _p a ⁺ _n a ⁻ _n a ⁻ _p = τ ₀ .

Also erzeugen τ ₊ , τ ₋ und τ ₀ die Liealgebra von su(2) ∼ = so(3). Das ist der Zusam- menhang zwischen Isospin und der Darstellungstheorie von SU(2).

Der Begriff

” Multiplett“ kann also sowohl irreduzible Darstellungsr¨ aume von Lie- gruppen als auch Gruppen von Elementarteilchen mit gemeinsamen Eigenschaften bedeuten. Die Methode, beides in Beziehung zueinander zu bringen, hat sich als

¨ außerst erfolgreich erwiesen.

Tr¨ agt man die Baryonen mit dem Spin 1/2 in einem I ₃ -Y -Diagramm auf, so erh¨ alt man folgendes Bild:

Y

I ₃ Σ ⁰ , Λ

Σ ⁻ Σ ⁺

n p

Ξ ⁻ Ξ ⁰

Das ” Baryonen-Oktett“ beruht auf folgender Tabelle:

Neutron: I ₃ = −1/2 Y = 1 Proton: I ₃ = 1/2 Y = 1 Σ ⁻ : I ₃ = −1 Y = 0 Σ ⁰ : I ₃ = 0 Y = 0 Σ ⁺ : I ₃ = 1 Y = 0 Λ : I ₃ = 0 Y = 0 Ξ ⁻ : I ₃ = −1/2 Y = −1

Ξ ⁰ : I ₃ = 1/2 Y = −1.

Es ergibt sich das gleiche Bild wie beim Wurzeldiagramm der 3-dimensionalen ad- jungierten Darstellung von SU (3). Das legt nahe, hier eine neue innere Symmetrie zu sehen. Gell-Mann sprach bei dieser SU (3)-Symmetrie vom

” achtfachen Weg“, wegen der hier auftretenden Zahl Acht und wegen seines buddhistischen Hinter- grundes.

In ¨ ahnlichen F¨ allen f¨ uhrten solche Symmetriebetrachtungen zur Entdeckung neuer Teilchen.

Quarks:

Um die Idee der Quarks zu verstehen, muss man Tensorprodukte von Darstellungen

betrachten. Ausgangspunkt sei etwa die 3-dimensionale Standard-Darstellung der

Gruppe SU (3), in der physikalischen Literatur wird sie gerne mit 3 bezeichnet, die

konjugierte Darstellung mit 3. Die Tensorpotenzen 3 × 3, 3 × 3 × 3, . . . zerfallen

in irreduzible Darstellungen. Als Hilfsmittel, diese Zerlegungen zu finden, benutzt man sogenannte Young-Tableaus. Das h¨ angt mit der Darstellungstheorie der sym- metrischen Gruppe S _n zusammen. Es w¨ urde zu weit f¨ uhren, darauf auch noch im Detail einzugehen.

In der Flavour-SU (3)-Theorie werden Teilchen aus u-, d- und s-Quarks und den

entsprechenden Anti-Quarks aufgebaut, in der Color-SU(3)-Theorie gibt es farbige

Quarks als Elementarteilchen, allerdings sind nur farblose Zust¨ ande erlaubt, also

Kobinationen aus allen drei Farben oder aus Farbe und Anti-Farbe.