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MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

9. NOVEMBER2017

8 9 10 11 Σ

NAME: MAT-NR.:

NAME: MAT-NR.:

Numerische Verfahren f¨ur hyperbolische Erhaltungsgleichungen – 4. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 8: Beweisen Sie Parseval’s Beziehung 1

Z π/∆x

−π/∆x

|Qˆn(ξ)|2dξ= ∆xX

j

|Qnj|2.

Aufgabe 9: Sief konvex und q0 monoton fallend. Zeigen Sie, dass f¨ur alle 0< T < −1

supRf00·infRq00 eine klassische L¨osung q∈C1(R×[0, T]) von

tq+∂xf(q) = 0 inR×(0, T) q(x,0) =q0(x) inR existiert.

Aufgabe 10: Berechnen Sie den lokalen Abbruchfehler des Lax-Wendroff Verfahrens und f¨uhren Sie eine Von-Neumann-Stabilit¨atsanalyse durch.

b.w.

(2)

Aufgabe 11: Betrachten Sie wie in Aufgabe 1 auf Ω =R×[0,∞) die Advektionsgleichung

tq(x, t) +c∂xq(x, t) = 0, (c >0) (1)

mit Anfangsdaten q(x,0) =q0(x) und der Periodizit¨atsbedingungq(x+ 1, t) =q(x, t) f¨ur alle x∈R. Betrachten Sie f¨ur die numerischen Rechnungen wieder das Intervall [0,1].

1. Implementieren Sie das Lax-Wendroff Verfahren.

2. Betrachten Sie das AWP (1) mit Advektionsgeschwindigkeit c= 2, Anfangsdaten q(x,0) =

0 : x∈[0,1]\[0.4,0.6]

1 : 0.4≤x≤0.6

und der Periodizit¨atsbedingungq(t, x+ 1) =q(t, x) f¨ur alle x∈R,t∈R+.

Stellen Sie die numerischen Ergebnisse des Verfahens zum Zeitpunkt t= 1 graphisch dar. Ver- wenden Sie f¨ur die Diskretisierung geeignete Werte f¨ur ∆xund ∆t.

3. Erweitern Sie ihre Darstellung aus 2., indem Sie die exakten L¨osung zusammen mit der nume- rischen L¨osung darstellen.

4. Betrachten Sie das AWP (1) mit Advektionsgeschwindigkeit c= 1, Anfangsdaten q(x,0) = sin(2πnx)

und der Periodizit¨atsbedingungq(t, x+ 1) =q(t, x) f¨ur alle x∈R,t∈R+.

Stellen Sie auch f¨ur diese Anfangsdaten die numerische L¨osung des Verfahrens zum Zeitpunktt= 10 zusammen mit der exakten L¨osung graphisch dar, jeweils f¨urn= 1 undn= 5. Verwenden Sie f¨ur die Diskretisierung ∆x= 1/100 und verschiedenen CFL Zahlen. Welche Beobachtung machen Sie? Interpretieren Sie Ihre Resultate unter Verwendung der modifizierten Gleichungsanalyse.

Abgabe am 16. November 2017 am Beginn der Vorlesung.

Abgabe der Programmieraufgaben bis zum 16. November 2017 um 14:00 an david.kerkmann@hhu.de.

Besprechung in der ¨Ubung am 24. November 2017.

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