1, der Flächeninhalt der (unendlich breiten) Fläche ist gleich 1

(1)

12_GrenzwertberechnungenFlaechen_Loesung_slag Grenzwertberechnungen bei Flächen - Lösung

Aufgabe 1.Gegeben sind die Graphen zweier Funktionen f :x7→ _x¹ und g :x7→ _x¹2:

x y

1 1

0

g

x y

1 1

0

f

a) siehe oben, z.B. f(2) = ¹₂, g(2) = ¹₄. b) links: A(a) =

a

R

1 1

x²dx= [−_x¹]^a₁ =−¹_a−(−¹₁) = 1− ¹_a. Also lim

a→∞A(a) = 1, der Flächeninhalt der (unendlich breiten) Fläche ist gleich 1.

rechts: A(a) =

a

R

1 1

xdx= [lnx]^a₁ = lna−ln 1 = lna.

Also lim

a→∞A(a) = +∞, d.h. der Flächeninhalt unter dem Graphen ist für a → ∞ nicht endlich.

c) links: F(b) =

1

R

b 1

x²dx= [−¹_x]¹_b =−¹₁ −(−¹_b) = ¹_b −1.

Also lim

b→0F(b) = +∞, der Flächeninhalt der (unendlich hohen) Fläche ist unendlich.

rechts: F(b) =

1

R

b 1

xdx= [lnx]¹_b = ln 1−(lnb) =−lnb.

Alsolim

b→0F(b) = +∞, der Flächeninhalt der (unendlich hohen) Fläche ist unendlich (Das könnte man auch aufgrund von Symmetrie mit b) begründen).

Aufgabe 2.

a) lim

c→∞

c

R

0

1

e^xdx= lim

c→∞[−_e¹x]^c₀ = lim

c→∞(−_e¹c −(−_e¹0)) = lim

c→∞(1− _e¹c) = 1.

b) lim

c→0^>

1

R

c

√1

xdx= lim

c→0^>

1

R

c

x⁻¹²dx= lim

c→0^>

[^x

12 1 2

]¹_c = lim

c→0^>

[2√

x]¹_c = lim

c→0^>

[2−2√ c] = 2.

c) lim

c→+∞

c

R

0

4

2^xdx= 4 lim

c→+∞

c

R

0

2^−xdx= 4 lim

c→+∞

c

R

0

e^{ln 2}^−xdx= 4 lim

c→+∞

c

R

0

e^−x^{ln 2}dx= 4 lim

c→+∞[^e₋^−x_{ln 2}^{ln 2}]^c₀

= 4 lim

c→+∞[e^{−cln 2}

−ln 2

| {z }

→0

−^e₋^{−0 ln 2}_{ln 2}] = _{ln 2}⁴ .

(2)

2

Aufgabe 3.

a) W =

h2

R

h1

GmM

h² dh=GmM

R+100km

R

R 1

h²dh=GmM[−¹_h]^R+100_R ^km

=GmM[−_R+100¹ _km −(−_R¹)] = 0,97MJ (Vorsicht: Länge in m angeben!).

b) Geben Sie an, was der Term lim

h2→∞

h2

R

G^mM_h2 dh bedeutet und bestimmen Sie seinen Wert!

Das ist die Arbeit, die nötig ist, um einen Körper der Masse m ganz aus dem Gravita- tionsfeld der Erde zu entfernen.

Es ergibt sich lim

h2→∞

h2

R

G^mM_h2 dh=GmM lim

h2→∞[−_h¹

2 −(−_R¹)] = ^GmM_R . Für m= 1kg ergibt sich der WertW = 63MJ.