Ein Atom mit einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung liegt in einem externen Magnetfeld der St¨ arke B.

Festk¨ orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

12. ¨ Ubungsblatt Magnetismus (II) Verteilung 11. Dezember 2007 Besprechung 19./20. Dezember 2007

Aufgabe 1: Diamagnetismus einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

Ein Atom mit einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung liegt in einem externen Magnetfeld der St¨ arke B.

Zeigen Sie, dass der induzierte diamagnetische Kreisstrom am Ort des Kerns ein Feld

∆B = 0 µ 0

eB 3m φ E (0)

erzeugt, wobei φ E (0) das elektrostatische Potential am Kern ist (bez¨ uglich Vakuum).

Hinweis: Betrachten Sie Elektronen auf ringf¨ ormigen Bahnen, die insgesamt kugelsymmetrisch verteilt sind.

Berechnen Sie das durch die Kreisbewegung der Ladung in einem infinitesmal kleinen Raumvolumen erzeugte Magnetfeld mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes.

Aufgabe 2: Para- und Diamagnetismus von Isolatoren und Metallen

In dieser Aufgabe werden die paramagnetischen und diamagnetischen Eigenschaften von Isolatoren untersucht.

Insbesondere sollen die Suszeptibilit¨ aten der Ionenr¨ umpfe χ ^core _d und χ ^core _p mit denjenigen von Leitungselektronen in Metallen verglichen werden (siehe Vorlesung ).

(a) Betrachten Sie zun¨ achst den Beitrag von Bahndrehimpuls und Spin aller Elektronen eines Atoms in einem externen Magnetfeld B ~ zum Hamiltonoperator des Atoms

H = 1 2m

X

i

~

p i + e ~ A(~ r i ) ²

−B e¯ h 2m

X

i

2S z

⇒ H atom = −e m

X

i

[ A(~ ~ r i )~ p i − e 2

A ~ ² (~ r i )]−B e¯ h 2m

X

i

2S z

. Um das externe Magnetfeld B ~ = (0, 0, B) zu beschreiben, w¨ ahlt man das Vektorpotential A ~ = ^B ₂ (−y, x, 0).

Sch¨ atzen Sie den paramagnetischen Beitrag (Term, der mit B kleiner wird) und diamagnetischen Beitrag (Term, der mit B anw¨ achst) zur magnetischen Energie eines Atoms in einem externen Feld von 1 Tesla ab.

Warum liefern abgeschlossene Schalen keinen Beitrag zur paramagnetischen Energie eines Atoms.

(b) F¨ ur die diamagnetische Suszeptibilit¨ at eines Isolators (sog. Larmor-Diamagnetismus) mit N Atomen im Volumen V findet man

χ ^core _d = ∂M d

∂H | T = −N µ 0 e ² V 6m

Z

X

ν=1

r ² _ν < 0,

wobei Z die Anzahl Elektronen im Atom ist und r ² _ν die mittlere quadratische Ausdehnung der elektro- nischen Wellenfunktionen bedeutet. F¨ ur eine grobe Absch¨ atzung kann man r _ν ² ≈ a ² _B setzen und findet P Z

ν=1 r ² _ν = Za ² _B .

Die paramagnetische Suszeptibilit¨ at eines Isolators im Limes ^gµ _k

^{J H}

B

T 1 (d.h. f¨ ur hohe Tempera- turen) lautet

χ ^core _p = N V

µ 0 µ ² _B g ² J(J + 1)

3k _B T = C Curie

T .

Dabei ist g J = g(J, L, S) der Lande-Faktor bei Gesamtspin S, Gesamtbahndrehimpuls L und Gesamt- drehimpuls J = L + S. Dieses 1/T Verhalten der paramagnetischen Suszeptibilit¨ at bei hohen Tempera- turen nennt man Curie-Gesetz.

Weiter kann man auch die dia- und paramagnetische Suszeptibilit¨ aten der Leitungselektro- nen χ ^band _d und χ ^band _p herleiten (Landau-Diamagnetismus und Pauli-Paramagnetismus, siehe Vorlesung ):

χ ^band _p = µ _o µ ² _B D(E _F ) mit D(E _F ) = ^mk _{¯ h}

_π

und χ ^band _d = − ¹ ₃ χ ^band _p .

Sch¨ atzen Sie die Gr¨ ossenordnungen dieser vier Beitr¨ age zur Suszeptibilit¨ at eines Festk¨ orpers ab.

(c) Welche der unten aufgef¨ uhrten Elemente sind diamagnetisch, welche paramagnetisch und welche ferro- magnetisch? Warum?

Gold, Kupfer, Silber, Eisen, Natrium, Neon, Erbium, Lithium, Nickel, Cobalt, Aluminium, Gadolinium,

Dysprosium.