1. Grenzwertbestimmungen: Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

Ubungsblatt 8 – Differenzial- ¨ und Integralrechnung, WS 09/10

1. Grenzwertbestimmungen: Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

G

= lim

x→√ π

sin(x

)

x

− π , G

= lim

x→0

1 − cos x −

(1 − e

)

, G

= lim

x→0⁺

(sinh x)

, G

= lim

x→∞

(cosh x)

, G

= lim

x→0

1 − x

x − 1

sin x

, G

= lim

x→∞

x π

2 − arctan x

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Untersuchen Sie die Funktionen f

: R → R mit

f

(x) = (

x

cos 1

x , x 6= 0

0, x = 0

f¨ ur n = 1, 2, 3 auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit.

3. Ableitungen auf Umwegen: Bestimmen Sie zu f(x) = x

cosh

x

6

die Werte der 8. und 9. Ableitung an der Stelle x = 0 .

4. Extremwertaufgabe: In ein Gef¨ aß (mit geraden W¨ anden), das vom Boden zur H¨ ohe H mit Wasser gef¨ ullt ist, wird in der H¨ ohe h ein Loch gebohrt. Wie muss h gew¨ ahlt werden, so dass der Auftreffpunkt des Wasserstrahls am Boden (der eben in gleicher H¨ ohe wie der Gef¨ aßboden liegt) m¨ oglichst weit vom Gef¨ aß entfernt liegt? (Der Luftwiderstand soll vernachl¨ assigt werden.)

5. Stetigkeit im Mehrdimensionalen: Untersuchen Sie die Funktionen f und g, R

→ R ,

f (x) =

(

2

(x²₁+x²₂)²

f¨ ur x 6= 0 0 f¨ ur x = 0 g(x) =

(

1x²₂

(x²₁+x²₂)²

f¨ ur x 6= 0 0 f¨ ur x = 0 auf Stetigkeit im Ursprung.

6. Partielle Ableitungen: Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktionen R

→ R

f(x, y) = x

e

+ e

g(x, y) = sin

(xy)

h(x, y) = e

7. Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen: Man untersuche die Funktion R

→ R f (x, y) =

(

x⁴+y⁴

f¨ ur (x, y) 6= (0, 0) 0 f¨ ur (x, y) = (0, 0)

auf Stetigkeit. Des Weiteren berechne man die partiellen Ableitungen

(0, 0),

(0, 0) und die Richtungsableitung

(0, 0) mit a b = (

2

,

2

)

. Ist die Funktion im Ursprung differenzierbar?

8. Jacobi-Matrizen: Gegeben sind die Abbildung f : R

→ R

, f (x) =

(1 + x

)(1 + x

) e

+ x

x

x

,

g: R

× R → R

,

g(y) =



 y

+ y

y

y

y



 , und h: R

→ R

, h(x) = g(f (x)).

Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix von f in x = (0, 0, 0)

, von g in y = (1, 1)

und von h in x = (0, 0, 0)

.

9. Jacobi-Matrix und Polarkoordinaten: Bestimmen Sie f¨ ur die folgende Abbildung f : R

→ R

× (−π π],

f (x) = r

ϕ

=

p x

+ x

arctan

1

die Jacobi-Matrix. Transformieren Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel den Differenzialausdruck

W = x ∂U

∂y − y ∂U

∂x ,

wobei U eine nicht n¨ aher festgelegte differenzierbare Funktion ist, auf Polarkoordinaten.