Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zur Analysis II Blatt X vom 17. Juni 2010
Aufgabe X.1
Bestimmen Sie Maximum und Minimum der Funktion u:R2 →R, (x, y)7→ xy+x+y unter den Nebenbedingungen−2≤x≤2 und−2≤y≤4.
Aufgabe X.2
a) Bestimmen Sie das Maximum der Funktion f: Rn → R, x 7→ kxk2 unter der Nebenbedingung
n
P
i=1
x4i = 1.
b) Seien a, b, c >0. Finden Sie den achsenparallelen Quader gr¨oßten Volumens, wel- cher der Ellipsoidfl¨ache
(x, y, z)∈R3
x2 a2 +y2
b2 +z2 c2 = 1
einbeschrieben ist.
Aufgabe X.3
Sei Ω⊂Rn. Weiterhin seienf, g∈C1(Ω,Rn) undλ, µ∈C1(Ω). In der Vorlesung wurden die Begriffe Divergenz und (im Fall n= 3)Rotation eines Vektorfelds eingef¨uhrt:
divf =∇ ·f = ∂f1
∂x1
+ ∂f2
∂x2
+. . .+ ∂fn
∂xn
, rotf =∇ ×f =
∂f3
∂x2 − ∂f2
∂x3, ∂f1
∂x3 − ∂f3
∂x1, ∂f2
∂x1 − ∂f1
∂x2
.
Weisen Sie folgende Rechenregeln nach1
∇(λµ) =µ∇λ+λ∇µ, (1)
∇ ·(λf) = (∇λ)·f +λ∇ ·f, (2)
∇ ×(λf) = (∇λ)×f+λ∇ ×f, (3)
∇ ·(f ×g) =g·(∇ ×f)−f·(∇ ×g), (4)
∇ ×(f ×g) = (g· ∇)f −(f · ∇)g+f(∇ ·g)−g(∇ ·f). (5)
1Selbstverst¨andlich in den Formeln (3) bis (5) f¨urn= 3.
