a) Zeigen Sie, dass die Menge M1={xn |n∈N∪ {0}} kompakt ist

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis II Blatt IV vom 06. Mai 2010

Aufgabe IV.1

Sei (xn)n∈Neine konvergente Folge in einem metrischen Raum (X, d) mit Grenzwertx0. a) Zeigen Sie, dass die Menge M₁={x_n |n∈N∪ {0}} kompakt ist.

b) Zeigen Sie, dass hingegen die Menge M₂ = {x_n |n∈N} im Allgemeinen nicht kompakt ist.

Aufgabe IV.2

SeiX 6=∅ eine beliebige Menge versehen mit der diskreten Metrik, d.h.

d(x, y) =

(1, fallsx6=y 0, fallsx=y.

a) Zeigen Sie, dass jede Teilmenge von X offen ist.¹

b) Beweisen Sie, dass jede Abbildung f : (X, d) → (Y, d⁰) in einen beliebigen metri- schen Raum (Y, d⁰) stetig ist.

Aufgabe IV.3

SeiRⁿ versehen mit der Metrik² d(x, y) = min (kx−yk₂,3).

Beweisen Sie, dass die Menge

{y∈Rⁿ |d(0, y)≤3}

beschr¨ankt, jedoch nicht total beschr¨ankt ist.

Aufgabe IV.4

Seien (X, d) ein kompakter metrischer Raum undY ⊂X. Zeigen Sie, dassY genau dann kompakt ist, wennY abgeschlossen ist.

1Pr¨agnant formuliert: Die vonderzeugte Topologie istP(X).

2In Pr¨asenz¨ubung III.4 wurde bewiesen, dass es sich um eine Metrik handelt.

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