2. Gelte a n → a und b n → b . Zeigen Sie, dass a n + b n → a + b .

Ubungsblatt 02 - Differenzial- und Integralrechnung - WS 2013/14 ¨ (Heil, Riegelnegg, Ebner, H¨ orl, Sch¨ utky)

1. Bestimmen Sie den Koeffizienten von x ⁵ in (1 + x) ¹¹ und den Koeffizienten von x ³ in (3 + 4x) ⁶ .

2. Gelte a _n → a und b _n → b . Zeigen Sie, dass a _n + b _n → a + b .

3. Bestimmen Sie eine Schranke M und eine Zahl N sodass a _n ≤ M gilt f¨ ur n ≥ N , wobei a _n = _2n ⁿ

⁺⁷ⁿ⁺¹ +5n − 3 .

4. Sei a > 0 eine feste reelle Zahl. Zeigen Sie zuerst f¨ ur a > 1 mittels des Ein- schliessungskriteriums und der Tatsache √

n → 1 , dass auch √

a → 1 gilt. Zeigen Sie anschliessend, dass √

a → 1 auch f¨ ur 0 < a < 1 gilt.

Verwenden Sie auch die Formel a ^x = e ^{x ln a} f¨ ur einen alternativen Beweis.

5. Sei a > 0 eine feste reelle Zahl. Zeigen Sie mit der Bernoulli Ungleichung dass a ⁿ → ∞ f¨ ur a > 1 gilt. Zeigen Sie anschliessend, dass a ⁿ → 0 gilt f¨ ur a < 1 .

6. Bestimmen Sie den Grenzwert von a _n = √

2 ⁿ + 3 ⁿ mit dem Einschliessungskriterium.

7. Bestimmen Sie den Grenzwert von a _n = ( ⁿ

_n ⁻

¹ ) ⁿ

. Verwenden Sie dabei die Formel e ^x = lim

n →∞ (1 + ^x _n ) ⁿ .

8. Gegeben sei die Folge a _n = _(n+1) ⁿ

⁺²ⁿ

. Zeigen Sie, dass die Folge monoton steigt und

beschr¨ ankt ist. Bestimmen Sie den Grenzwert von a _n .