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(b) A⊂R,A⊂[1,2],1∈/ A (c) A⊂N,A∩N=∅ (d) A⊂N,A∩B

Aktie "(b) A⊂R,A⊂[1,2],1∈/ A (c) A⊂N,A∩N=∅ (d) A⊂N,A∩B"

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Aktie "(b) A⊂R,A⊂[1,2],1∈/ A (c) A⊂N,A∩N=∅ (d) A⊂N,A∩B"

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Tim Schulze

Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2019 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen zur Besprechung in den Tutorien in der zweiten Vorlesungswoche

Aufgabe 1

In den folgenden Teilaufgaben wird jeweils eine MengeA gesucht, welche die genannten Eigenschaften besitzt. Geben Sie jeweils – falls möglich – eine solche Menge an und klären Sie, ob es gegebenenfalls nur eine mögliche Wahl fürAgibt. Falls es mehrere Möglichkeiten gibt: Welche Bedingungen mussA erfüllen?

(a) A⊂N,{1} ⊂A,A∩ {2,3}=∅ (b) A⊂R,A⊂[1,2],1∈/ A

(c) A⊂N,A∩N=∅

(d) A⊂N,A∩B =∅, wobei B⊂(R\Q)

Aufgabe 2

Zeichnen Sie die Punkte P₁, P₂ ∈R² und die Teilmengen A₁, A₂, B⊂R² in ein gemeinsa- mes Koordinatensystem ein:

P₁ = (³₂,2), P₂= (⁵₂,2), A₁ ={2} ×[1,³₂], A₂= [³₂,⁵₂]× {¹₂}, B = [1,3]×[⁻¹₂ ,3].

Aufgabe 3

Schreiben Sie die Menge

M ={x∈R:|x−2| ≤8}

als Intervall.

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3) Geben Sie jeweils ein Beispiel und zeigen Sie dann: a) A⊆B⇐⇒A∩B=A b)A⊆B⇐⇒A∪B=B c) A⊆C∧B⊆C=⇒A∪B⊆C d)C⊆A∧C⊆B=⇒C⊆A∩B 4) Geben Sie ein Beispiel einer MengeAan, f¨ur die∅ ∈A

[r]

n 2 2 a = a + b n + 1 n n

Die Spirale ist eine logarithmische Spirale mit folgender Drehstreck- symmetrie: Drehung um 45° mit gleichzeitiger Streckung mit 2 ist eine Deckabbil- dung

n n y x a + b = 1 + = 1 a b

Es sind also jeweils 13 Ellipsen (inklusive der Grenzfälle eine waagerechen oder senkrechten Strecke)

() 2 a a a a a a a n a a = 2 a + 2 a − a n 2 2 n − 2 n () 15 () n n + 1 ⎛⎝⎞⎠ n n − 1 n − 2 n 1 + 52 F = 2 F + 2 F − F 15 1 a F = = lim = 2 Φ + 2 − 2 − − 1 + = Φ 2 + 2 − n + 12 n n − 12 n − 22 F n = Φ −− , Φ = a a a a a a a n Φ n →∞

Insbesondere kommen die Fibonacci-Folge und die Lucas-Folge

2 2 a a = 1 b = 0 c = 1 n 0 0 0 a = 2 n + 1 b = 2 n + 2 nc = 2 n + 2 n + 1 n n n + 2 n a = 4 n − a b = 4 n + b c = 4 n + c n n − 1 n n − 1 n n − 1

Es werden allerdings nicht alle pythagoreischen Tripel generiert... Jedes pythagoreische Dreieck ist zwei

2 1 1 1 1 a a a a ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = = − , = − + 1 121 1 () () 1 2 = = n a a = + a + a n a a n n + 2 2 a − a a a n − 1 − a n − 2 a a a a a

Die Abbildungen 3 und 4 geben im Vergleich dazu eine Kreisschar, deren Radien im Sinne einer geometrischen Folge abnehmen.. 3: Geometrisch

n n y x a − b = 1 − = 1 a b

Die Hyperbeln dieser Schar haben alle denselben Thaleskreis.. Dieser ist der Umkreis des

12 12 a = pa + qa a n = a n − 1 + a n − 2 n n − 1 n − 2

Jedes Folgenglied ist also eine Linearkombination der beiden vorangehenden Folgen- glieder (Walser 2012, S.15).. Der Grenzwert der Folge soll aber von null

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Seien die Ereignisse A 1 , . . . , A n gegeben. Falls Pr[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] > 0 ist, gilt

Seien die Ereignisse A 1 , . . . , A n gegeben. Falls Pr[A 1 ∩ . . . ∩ A n ] > 0 ist, gilt

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Die Ereignisse A 1 , . . . , A n seien paarweise disjunkt und es gelte B ⊆ A 1 ∪ . . . ∪ A n . Dann folgt

Die Ereignisse A 1 , . . . , A n seien paarweise disjunkt und es gelte B ⊆ A 1 ∪ . . . ∪ A n . Dann folgt

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2. Gelte a n → a und b n → b . Zeigen Sie, dass a n + b n → a + b .

2. Gelte a n → a und b n → b . Zeigen Sie, dass a n + b n → a + b .

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