() 2 a a a a a a a n a a = 2 a + 2 a − a n 2 2 n − 2 n () 15 () n n + 1 ⎛⎝⎞⎠ n n − 1 n − 2 n 1 + 52 F = 2 F + 2 F − F 15 1 a F = = lim = 2 Φ + 2 − 2 − − 1 + = Φ 2 + 2 − n + 12 n n − 12 n − 22 F n = Φ −− , Φ = a a a a a a a n Φ n →∞

Hans Walser, [20150823]

Fibonacci-Potenzen 1 Worum geht es

Es werden die Quadrate, Kuben und vierte Potenzen der Folgen mit der Fibonacci- Rekursion behandelt. Insbesondere kommen die Fibonacci-Folge und die Lucas-Folge vor.

2 Quadrate

2.1 Rekursion für Quadrate der Fibonacci Zahlen Aus der Formel von Binet

F_n = ¹

5^⎛_⎝Φⁿ− −

( )

F_n² = ¹₅

(

( )

)

Behauptung: Es gilt folgende Rekursion:

F_n+1² =2F_n²+2F_n−1² −F_n−2² (3) Beweis: Nachrechnen unter Verwendung von (2).

2.2 Beginn mit Rekursion

Eine beliebige Folge a_n habe die Rekursion:

a_n+1=2a_n+2a_n−1−a_n−2 (4) Daraus ergibt sich:

a_n+1

a_n =2+2^a_aⁿ⁻¹

n −^an−2_a

n =2+2^a_aⁿ⁻¹

n −^a_aⁿ⁻²

n−1

a_n−1

a_n (5)

Für den Grenzwert

a= lim

n→∞

a_n+1

a_n (6)

finden wir die kubische Gleichung:

α =2+2_α¹ − ¹ α²

α³−2α²−2α+1=0

(7)

Diese hat die Lösungen:

α₁=Φ², α₂ =

( )

Somit gilt für die Folge a_n die verallgemeinerte Binet-Formel:

a_n =r₁Φ²ⁿ+r₂

( )

^{( )}

2.3 Beispiele

2.3.1 Quadrate der Fibonacci-Folge Fibonacci-Folge:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

F_n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 Tab. 1: Fibonacci-Folge

Wir arbeiten mit den Startwerten:

a₀ =0, a₁=1, a₂ =1 (10)

Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃ erhalten wir die Bedingung:

0=r₁Φ⁰+r₂

( )

^{( )}

1=r₁Φ²+r₂

( )

^{( )}

1=r₁Φ⁴ +r₂

( )

^{( )}

(11)

Das Geleichungssystem (11) hat die Lösung:

r₁=¹₅, r₂ = ¹₅, r₃=−²₅ (12) Dies ergibt die Formel (2).

2.3.2 Quadrate der Lucas-Folge Lucas-Folge:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

L_n 2 1 3 4 7 11 18 29 47 Tab. 2: Lucas-Folge

Wir arbeiten mit den Startwerten:

a₀ =4, a₁=1, a₂ =9 (13)

Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃ erhalten wir die Bedingung:

4=r₁Φ⁰+r₂

( )

^{( )}

1=r₁Φ²+r₂

( )

^{( )}

9=r₁Φ⁴ +r₂

( )

^{( )}

(14)

Das Geleichungssystem (14) hat die Lösung:

r₁=1, r₂ =1, r₃=2 (15)

Dies ergibt für die Quadrate der Lucas-Folge die besonders einfache Formel:

L²_n =Φ²ⁿ+

( )

^{( )}

( )

Und tatsächlich:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a_n 4 1 9 16 49 121 324 841 2209

Tab. 3: Quadrate der Lucas-Folge

Aus (16) ergibt sich die Binet-Formel für die Lucas-Folge:

L_n =Φⁿ +

( )

3 Kuben

Und nun dasselbe für die Kuben.

3.1 Rekursion für die Kuben der Fibonacci Zahlen Es gilt die Rekursion:

F_n+1³ =3F_n³+6F_n−1³ −3F_n−2³ −F_n−3³ (18) 3.2 Beginn mit der Rekursion

Eine beliebige Folge b_n habe die Rekursion:

b_n+1=3b_n+6b_n−1−3b_n−2−b_n−3 (19) Für den Grenzwert

β = lim

n→∞

b_n+1

b_n (20)

finden wir die Gleichung vierten Grades:

β=3+6_β¹ −3 ¹

β² − ¹

β³

β⁴ −3β³−6β²+3β+1=0

(21)

Diese hat die Lösungen:

β₁=_Φ¹ , β₂ =

( )

( )

Somit gilt für die Folge b_n die verallgemeinerte Binet-Formel:

b_n =r₁

( )

^{( )}

( )

( )

3.3 Beispiele

3.3.1 Kuben der Fibonacci-Folge Wir arbeiten mit den Startwerten:

b₀ =0, b₁=1, b₂ =1, b₃=8 (24) Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃,r₄ erhalten wir die Bedingung:

0=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

1=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

1=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

8=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

(25)

Das Geleichungssystem (25) hat die Lösung:

r₁= ₂₅³ 5, r₂ =−₂₅³ 5, r₃=−₂₅¹ 5, r₄ = ₂₅¹ 5 (26) Dies ergibt die Formel:

F_n³=3₂₅⁵

( )

( )

( )

( )

= ¹

5^3⎛⎝

( )

^{( )}

⎠

3 (27)

3.3.2 Kuben der Lucas-Folge Wir arbeiten mit den Startwerten:

b₀ =8, b₁=1, b₂ =27, b₃=64 (28) Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃,r₄ erhalten wir die Bedingung:

8=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

1=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

27=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

64=r₁

( )

^{( )}

( )

( )

(29)

Das Geleichungssystem (29) hat die Lösung:

r₁=3, r₂ =3, r₃=1, r₄ =1 (30) Dies ergibt die Formel:

L³_n =3

( )

^{( )}

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

3

(31)

4 Vierte Potenzen

Und nun dasselbe für die vierten Potenzen.

4.1 Rekursion für die Kuben der Fibonacci Zahlen Es gilt die Rekursion:

F_n+1⁴ =5F_n⁴+15F_n−1⁴ −15F_n−2⁴ −5F_n−3⁴ +F_n−4⁴ (32) 4.2 Beginn mit der Rekursion

Eine beliebige Folge c_n habe die Rekursion:

c_n+1=5c_n+15c_n−1−15c_n−2 −5c_n−3+c_n−4 (33) Für den Grenzwert

γ = lim

n→∞

c_n+1

c_n (34)

finden wir die Gleichung fünften Grades:

γ =5+15_γ¹ −15 ¹ γ² −5 ¹

γ³+ ¹ γ⁴

γ⁵ −5γ ⁴−15γ ³+15γ²+5γ −1=0

(35)

Diese hat die Lösungen:

γ₁=1, γ₂ =−

( )

( )

Somit gilt für die Folge c_n die verallgemeinerte Binet-Formel:

c_n =r₁+r₂^⎛_⎝−

( )

( )

^{( )}

( )

4.3 Beispiele

4.3.1 Vierte Potenzen der Fibonacci-Folge Wir arbeiten mit den Startwerten:

c₀ =0, c₁=1, c₂ =1, c₃=16, c₄ =81 (38) Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃,r₄ erhalten wir die Bedingung:

0=r₁+r₂^⎛_⎝−

( )

( )

^{( )}

⎠

0+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

1+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

2+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

3+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

4 +r₅

( )

(39)

Das Geleichungssystem (39) hat die Lösung:

r₁= ₂₅⁶ , r₂ =−₂₅⁴ , r₃=−₂₅⁴ , r₄ = ₂₅¹ , r₅ = ₂₅¹ (40) Dies ergibt die Formel:

F_n⁴ = ₂₅⁶ −₂₅^{4 ⎛}_⎝−

( )

( )

^{( )}

⎠

n+₂₅¹

( )

4.3.2 Vierte Potenzen der Lucas-Folge Wir arbeiten mit den Startwerten:

c₀ =16, c₁=1, c₂ =81, c₃=256, c₄ =2401 (42) Für die Koeffizienten r₁,r₂,r₃,r₄ erhalten wir die Bedingung:

16=r₁+r₂^⎛_⎝−

( )

( )

^{( )}

⎠

0+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

1+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

2+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

3+r₅

( )

( )

( )

^{( )}

⎠

4+r₅

( )

(43)

Das Geleichungssystem (43) hat die Lösung:

r₁=6, r₂ =4, r₃=4, r₄ =1, r₅ =1 (44) Dies ergibt die Formel:

L_n⁴ =6+4^⎛_⎝−

( )

( )

^{( )}

⎠

n+

( )

^{( )}

⎠

4

(45)

Da haben wir etwas mit der Kirche ums Dorf gerechnet.