T TA T A M N M , A T , M A , T , M , N , U , N , W , N i 0 0 i i 0 i 1 1 2 1 2 2 0 1 2 T 1 A 2 M 1 N 2 M 0 N 0 T A 0 0 N 1 M 2 A T 1 2

Hans Walser, [20080928b]

Feuerbachsche Elfpunkte-Hyperbeln Anregung: M. B., W.

In einem Dreieck A₀A₁A₂ seinen M_i die Seitenmitten, U der Umkreismittelpunkt, F der Mittelpunkt des Feuerbachkreises, e die Eulergerade, T einer der beiden Schnitt- punkte des Umkreises mit der Eulergeraden e, T_i die Cevianfußpunkte zu T, N_i die Mittelpunkte der Strecken TA_i, W derjenige Schnittpunkt des Feuerbachkreises mit der Eulergeraden, der näher bei T liegt und G der Mittelpunkt der Strecke UW.

A₀

A₁ A₂

M₀ M₁

M₂ U

T

e F

W T₀

T₂

T₁

N₀

N₁ N₂ G

Feuerbachsche Elfpunkte-Hyperbel Dann gilt:

1. Der Kegelschnitt durch die Punkte M₀,M₁,M₂,U,W ist eine gleichseitige Hy- perbel, das heißt, ihre Asymptoten stehen rechtwinklig aufeinander.

2. Diese Hyperbel verläuft durch die sechs weiteren Punkte T₀,T₁,T₂,N₀,N₁,N₂. 3. Der Mittelpunkt der Hyperbel ist G.

Verifikation mit DGS (Cabri).

Bemerkungen:

1. Die gleichseitige Hyperbel gilt als die speziellste Hyperbel, analog zum Kreis als speziellster Ellipse.

2. Da der Umkreis und die Eulergerade zwei Schnittpunkte haben, gibt es zwei sol- che gleichseitige Hyperbeln.

3. Namensgebung Feuerbachsche Elfpunkte-Hyperbeln in Analogie zum Feuer- bachschen Neunpunkte-Kreis.