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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser, [20101114c]

Dritteln der Dreiecksseiten Anregung: I. L., B.

1 Worum geht es?

Wir dritteln zyklisch die drei Seiten eines Dreiecks A0A1A2. Den ersten Drittelspunkt auf der Seite Ai+1Ai+2 (zyklische Indizierung) sei Bi (Abbildung). Weiter sei Qi der Schnittpunkt der beiden Ecktransversalen Ai+1Bi+1 und Ai+2Bi+2.

A0

A2

A1 B0 B1

B2

Q0

Q1 Q2

Dritteln der Dreiecksseiten

Dann gilt ([Johnston 1992], [Sielaff/ Usbeck 1994], [Steinhaus 1959]):

Das Dreieck Q0Q1Q2 bedeckt flächenmäßig einen Siebtel der Dreiecksfläche A0A1A2.

2 Beweise 2.1 Rasterung

Die Situation passt in ein Dreiecksraster mit 49 kongruenten, zum Ausgangsdreieck A0A1A2 ähnlichen Dreiecken (Abbildung).

Dass die Sache mit der Drittelung der Dreiecksseiten stimmt, sehen wir exemplarisch an der grün eingezeichneten Referenzzeile.

(2)

Hans Walser: Dritteln der Dreiecksseiten 2/3

Rasterung

Aus diesem Raster können wir die Teilverhältnisse auf den Ecktransversalen ablesen.

Wir sehen auch noch ein „spiegelbildliches“ (Schrägspiegelung an Seitenhalbierenden) Dreieck, das natürlich denselben Flächeninhalt hat wie das rote Dreieck Q0Q1Q2.

2.2 „Kleiner“ Zerlegungsbeweis

„Kleiner“ Zerlegungsbeweis

Wir arbeiten mit den Dreiecken des Rasters als Maßeinheit. Diese messen je 491 der Fläche des Ausgangsdreiecks A0A1A2. In der Abbildung sind drei magenta Parallelo- gramme eingezeichnet, welche je vier Rasterdreiecke umfassen. Flächenmäßig liegt jeweils genau die Hälfte dieser Parallelogramme im Innern des roten Dreiecks Q0Q1Q2. Zusätzlich haben wir in der Mitte des roten Dreiecks Q0Q1Q2 noch ein einzelnes Ras- terdreieck. Für die Fläche des roten Dreiecks Q0Q1Q2 erhalten wir somit 3⋅42 +1=7 Rasterdreiecke, also eine Siebtel des Ausgangsdreiecks A0A1A2.

(3)

Hans Walser: Dritteln der Dreiecksseiten 3/3 2.3 „Großer“ Zerlegungsbeweis

„Großer“ Zerlegungsbeweis

Wir expandieren das rote Dreieck Q0Q1Q2 zu einem Raster. Das ursprüngliche Dreieck A0A1A2 passt in dieses große Raster. Das große Raster enthält drei magenta Parallelo- gramme aus je vier Rasterdreiecken, welche je zur Hälfte das Ausgangsdreieck A0A1A2 bedecken. Zusätzlich haben wir im Innern das ursprüngliche Rasterdreieck Q0Q1Q2. Das Ausgangsdreieck A0A1A2 besteht also flächenmäßig aus 3⋅42 +1=7 Rasterdrei- ecken.

Literatur

[Johnston 1992] Johnston, W. I.: Mathematics Teacher 85(2), 1992, Titelbild so- wie S. 89, 92, 598.

[Sielaff/ Usbeck 1994] Sielaff, K. / Usbeck, F. W.: Hamburger Schülerzirkel Mathema- tik 1991-93. Hamburg, Hereus, 1994. S. 176-177.

[Steinhaus 1959] Steinhaus, H.: Kaleidoskop der Mathematik. Berlin: DVW,1959.

S. 17.

Referenzen

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