() 2 2 2 181 12 2 2 2 14 12 2 a + 1 + 2 b + 1 = 2 c + 1 ()= a , b , c () () () ba − 2 ab + a + b + = 0 a + b + = ca a + b = c a + 1 + b + 1 = c + 1 a + () ()= 12 12 18 2 2 12 a + b + + b + = a + b

Hans Walser, [20180120]

Doppelter Pythagoras 1 Problem

Gesucht sind Zahlentripel

(

)

a²+b² =c² (1)

und:

a+1

( )

(

)

(

)

In (1) erkennen wir den Pythagoras, in (2) seinen älteren Bruder.

2 Bearbeitung

Wir subtrahieren (1) von (2) und erhalten:

2a+1+2b+1=2c+1 (3)

Umformen ergibt:

a+b+¹₂ =c

a+b+¹₂ = a²+b²

(4)

Quadrieren liefert:

2ab+a+b+ ¹₄ =0 a+¹₂

( ) ( )

(5)

Daraus ergibt sich:

b a

( )

−¹₂ (6)

Abb. 1: Lösungsmenge

Wir sehen, dass es keine Lösung mit positivem a und positivem b gibt. Trotzdem lohnt es sich, einige Lösungen anzusehen.

1 a

b

1

3 Ausgewählte Lösungen 3.1 Alte Bekannte

Für a=−₈³ liefert (6) den Wert b= ¹₂ = ⁴₈. Es ist dann c= ⁵₈. Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a das Lehrerdreieck mit dem Seitenverhältnis a:b:c=3 : 4 : 5 (gelb in Abb. 2).

Weiter ist a+1= ⁵₈, b+1=¹²₈ und schließlich c+1=¹³₈ . Wir haben das pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 5 :12 :13 (zyan in Abb. 2).

Abb. 2: Zwei pythagoreische Dreiecke 1

a b

1

3.2 Weitere Bekannte

Für a=−₁₂⁵ liefert (6) den Wert b=1=¹²₁₂. Es ist dann c=¹³₁₂. Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem Seitenverhält- nis a:b:c=5 :12 :13 (gelb in Abb. 3).

Weiter ist a+1=₁₂⁷ , b+1=2=²⁴₁₂und schließlich c+1=₁₂²⁵. Wir haben das pythago- reisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 7 : 24 : 25 (zyan in Abb. 3).

Abb. 3: Nochmals zwei pythagoreische Dreiecke 1

a b

1

3.3 Noch ein Beispiel

Für a=−²₅ =−₂₀⁸ liefert (6) den Wert b= ₄³ =¹⁵₂₀. Es ist dann c=¹⁷₂₀. Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem Seiten- verhältnis a:b:c=8 :15 :17 (gelb in Abb. 4).

Weiter ist a+1=¹²₂₀, b+1=³⁵₂₀und schließlich c+1= ³⁷₂₀ . Wir haben das pythagorei- sches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 12 : 35 : 37 (zyan in Abb. 4).

Abb. 4: Pythagoreische Dreiecke

3.4 Allgemein

Die Beispiele sind nicht umwerfend. Sobald wir ein pythagoreisches Dreieck mit ratio- nalen Seiten haben, ergibt die Addition von 1 wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seiten, also wieder ein pythagoreisches Dreieck.

1

a b

1