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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser: Sehwinkelproblem 1 / 2 Hans Walser, [20151003]

Sehwinkelproblem Anregung: Rühenbeck 2015 1 Das Problem

Ein Fahrzeug fährt auf einer Straße in Richtung von x an einem Verkehrsschild der Breite b vorbei, das im Abstand a von der Fahrtrichtung steht (Abb. 1). Wann ist der Sehwinkel ε, unter dem das Schild erscheint, am größten? (Rühenbeck 2015)

Abb. 1: Optimaler Sehwinkel 2 Klassische Lösung

Unter allen Ortsbogen über der Strecke b suchen wir den kleinsten (entspricht dem größten Winkel), der die Fahrtrichtung gerade noch erreicht, also tangential dazu ist.

Dieser Ortsbogen hat den Radius r=a+b2 und kann daher sehr einfach konstruiert werden. Damit ist die Aufgabe konstruktiv gelöst.

Rechnerisch erhalten wir für x mit Pythagoras:

x=

( )

a+b2 2

( )

b2 2 = a a

(

+b

)

(1)

Der optimale Sehwinkel ist der halbe Zentriwinkel des Ortsbogens, also:

ε =arcsin

b2

a+b2

⎝⎜

⎠⎟ =arcsin

( )

2a+bb (2)

Das Problem lässt sich mit Mitteln der Sekundarstufe I bearbeiten.

ε

a ε

b x

x r

r

r

(2)

Hans Walser: Sehwinkelproblem 2 / 2

3 Aufwärtskompatibilität

Das Problem ist ein schöner Beispiel des folgenden Extremwertproblems: Gesucht sind Extremwerte einer Funktion f x,

( )

y (in unserem Beispiel der Sehwinkel) unter der Ne- benbedingung ϕ

( )

x,y =0 (in unserem Beispiel die Straße).

Die Nebenbedingung beschreibt einen Weg in der x,y-Ebene, und gesucht sind die Tan- gentialstellen zu den Niveaulinien der Funktion f x,

( )

y . Dies führt zur Bedingung, dass die beiden Gradienten linear abhängig sein müssen, also ∇f =λ∇ϕ. Technisch wird dazu die Hilfsunktion g x,

(

y,λ

)

= f x,

( )

y λϕ

( )

x,y gebildet, deren Gradient ver- schwinden muss.

Literatur

Rühenbeck, Christian (2015): Sehwinkelproblem. MNU Der mathematische und natur- wissenschaftliche Unterricht 68/5 (15. 9. 2015), S. 308-309.

Referenzen

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