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(1)

Hans Walser, [20210728]

Apollonios

1 Worum geht es?

Der Satz des Apollonios ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. In Formeln und mit der üblichen Beschriftung eines beliebigen Dreieckes lautet er:

(1) Es werden verschiedene Visualisierungen von (1) gegeben.

2 Visualisierungen

Es ist jeweils die rote Flächensumme gleich der blauen Flächensumme.

Abb. 1: Gemäß der Formel

a

+ b

=

¹₂

c

+ 2s

_c²

(2)

Hans Walser: Apollonios 2 / 3

Abb. 2: Symmetrisierung. Zwei gleiche Quadrate

(3)

Hans Walser: Apollonios 3 / 3

Abb. 3: Ein Quadrat mit Stützdreiecken

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4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 1 + 52 1 2 A = c + = qc b + ch , q = a = c c = cq = q c c c = , qcq ⇒ h = c q q = c ba + q − 1 = 0 c Φ = = ≈ ≈ 0.7862 1.6180 a h c c q b Φ q

• Das Dreieck ist eines der wenigen Beispiele, in denen die Quadratwurzel aus dem Goldenen Schnitt erscheint. 6., bearbeitete und

c , c , c 0 1 2

Mit recht allgemeinen geometrischen Vorgaben kann mit Hilfe von Evolventen ein Gleichdick konstruiert werden.. 2

2 2 2 2 a a + ± ab ab = = c c

Im Spitzen Goldenen Dreieck ergibt sich die Situation der Abbildung 6, wobei wir c = 1 setzen.. Die beiden blauen Rechtecke sind

2 2 2 2 = m − n , b = 2 mn , c = m + n a

Das am linken Rand unten vorstehende kleine Schnipsel ist ähnlich zu den beiden Drei- ecken und damit ebenfalls ein pythagoreisches Dreieck?. 4

2 2 P = P c = b ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ 2 − 1

Abb. Das ist der beste Spieler in der rangmäßig zweiten Hälfte. Jede Verdoppelung der Spielerzahl benötigt eine zusätzliche Runde. b) Der zweitbeste Spieler kommt ins

()= () ()= ()= ()= () () () () () 2 V a × = b abc × c Sa Sa Fa Fa a , , , , , b b b b b , , , , , c c c c c , , abc 2 a Sa 2 + − a 2 V , + b b = , 2 +() c b 0 +() − c + c b a + , + b b , 2 + c 2 − abc − V 2 b

Die beiden oberen sind seitlich herunterge- klappt, die beiden unteren auf das Bodenrechteck eingeklappt und daher beim stehenden Milchkarton nicht sichtbar.. Die Faltnasen sind

2 2 2 2 a − b + c − d = 0

Falls zwei gleich lange Diagonalenabschnitte auf derselben Diagonalen liegen, haben wir ebenfalls ein Drachenviereck.. Noch offen sind somit die Fälle, wo zwei gleich

()= ()= () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 12 b b b + + + c c c = = 41 313 a a a + + + c c c 17 97

Es wird sich allerdings zeigen, dass entsprechendes nicht für beliebige pythagoreische Dreiecke gilt.. 2

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1 − s 2 a − s 2 1 − s 2 b und Radius

() 2 2 2 181 12 2 2 2 14 12 2 a + 1 + 2 b + 1 = 2 c + 1 ()= a , b , c () () () ba − 2 ab + a + b + = 0 a + b + = ca a + b = c a + 1 + b + 1 = c + 1 a + () ()= 12 12 18 2 2 12 a + b + + b + = a + b

+ b ≥ cb 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ()= c − a − b c − a − b + b + c − 2 a b − 2 b c − 2 c a ≤ 0 cos ⎛⎝⎞⎠ a ≤ 1 c − a − b ≤ 1 − 2 ab − 2 ab + c ≥ ac − 2 ab + a ≥ b a

2 2 2 2 c = a b = 3 c c = a − b

2 2 2 2 12 2 2 2 ()= ()+ ()() ()= () ()= () A , ab sin cd sin Φ , a + b − 2 ab cos − c − d + 2 dc cos 0 e = a + b − 2 ab cos () 2 2 2 e = c + d − 2 dc cos

2 2 a a = 1 b = 0 c = 1 n 0 0 0 a = 2 n + 1 b = 2 n + 2 nc = 2 n + 2 n + 1 n n n + 2 n a = 4 n − a b = 4 n + b c = 4 n + c n n − 1 n n − 1 n n − 1

C 6 E C 6 C 3 C 2 (C 3 ) 2 (C 6 ) 5 linfct quadfct cubfct A 1 1 1 1 1 1 z x 2 + y 2 , z 2 z 3 , z x 2 + y 2

= a ( b )1 2 ab = b ( a )4.13 ab a + b − c =2 c − d ( c )3.13 a + b − c =2 c − d ( b )2. Aufgaben:1. ⇒ c = b − 2 ab ⇒ b · c = b − 2 a | : b ⇒ a + b · c = b − a |− a a + b · c = b − a ( c ) L¨osenSiedienachfolgendenGleichungenjeweilsnachderinKlammernan-geg