2 2 2 2 12 2 2 2 ()= ()+ ()() ()= () ()= () A , ab sin cd sin Φ , a + b − 2 ab cos − c − d + 2 dc cos 0 e = a + b − 2 ab cos () 2 2 2 e = c + d − 2 dc cos

Hans Walser, [20150806], [20150810]

Flächenoptimierung im Viereck Anregung: Chr. K., B.

1 Worum geht es Wir beweisen den Satz:

Unter allen Vierecken mit gegebenen Seiten a, b, c, d hat das Sehnenviereck den größ- ten Flächeninhalt.

2 Beweis

Wir verwenden die üblichen Bezeichnungen (Abb. 1) und unterteilen das Viereck mit der Diagonalen e in zwei Teildreiecke.

Abb. 1: Bezeichnungen. Unterteilung

Für den Flächeninhalt A des Viereckes gilt daher:

A

( )

β,δ ^{= 1}₂

(

^absin

( )

^{β +cdsin}

( )

^δ

)

⁽¹⁾

Nach dem Kosinussatz gilt für die Diagonale e:

e² =a²+b² −2abcos

( )

β

e² =c² +d² −2dccos

( )

δ ⁽²⁾ Somit haben wir die Nebenbedingung:

Φ

( )

β,δ ^{=a2+b2−2abcos}

( )

^{β −c2−d2+2dccos}

( )

^{δ =0 (3)}

a

b c

e d

β δ

A

B

C D

Wir haben die Funktion A

( )

β,δ unter der Nebenbedingung Φ

( )

β,δ ⁼⁰ zu optimieren.

Nach dem üblichen Verfahren bilden wir die Hilfsfunktion

F

(

β,δ,λ

)

^=A

( )

^{β,δ −λ Φ β}

( )

^{,δ (4)}

und setzen deren Gradienten null:

∂F∂β =¹₂abcos

( )

β ^−2abλsin

( )

^{β =0}

∂F∂δ =¹₂cdcos

( )

δ ^+2cdλsin

( )

^{δ =0}

∂F∂λ =−a²−b²+2abcos

( )

β ^{+c2+d2−2dccos}

( )

^{δ =0}

(5)

Die ersten beiden Gleichungen lauten vereinfacht:

12cos

( )

β ^=2λsin

( )

^{β ⇒ λ=} _{4 tan}¹_{( )β}

12cos

( )

δ ^=−2λsin

( )

^{δ ⇒ λ=−}_{4 tan}¹_{( )δ} ⁽⁶⁾

Aus tan

( )

δ ^=−tan

( )

^{β folgt β+δ =π}. Wir haben ein Sehnenviereck.

3 Bestimmung des Sehnenviereckes

Zu gegebenen vier Seiten ist ein Viereck bei Kenntnis eines Winkels bestimmt.

Wenn wir nun δ =π−β in die Nebenbedingung Φ

( )

β,δ ⁼⁰ einsetzen, erhalten wir:

cos

( )

β ^{= a2+b}_2(ab+cd^2−c2−d₎ ^{2 (5)} Die Abbildung 2 zeigt das zu den Seitenlängen a, b, c, d des Viereckes der Abbildung 1 gehörende Sehnenviereck.

Abb. 2: Sehnenviereck

4 Rechnereien

Wir berechnen weitere Daten des durch die vier Seiten a, b, c, d gegebenen Sehnenvier- ecks.

4.1 Flächeninhalt

Aus (7) ergibt sich durch Umrechnen auf Sinus:

sin

( )

β ^{= 4(ab+cd)2−}

(

^{a2+b2−c2−d2}

)

²

2(ab+cd)

= ^{−a4−b4−c4−d4+2a2b2+2a2c}₂²(⁺²_ab+cd^a2d2)^{+2b2c2+2b2d2+2c2d2+8abcd}

= (^−a+b+c+d)(^a−b+c+d)(^a+b−c+d)(^a+b+c−d)

2(ab+cd)

(8)

Wegen δ =π−β ist:

sin

( )

δ ^=sin

( )

^{β (9)}

Wir setzen (8) und (9) in (1) ein und erhalten für den Flächeninhalt A:

A= ¹₄

(

−a+b+c+d

) (

^a−b+c+d

) (

^a+b−c+d

) (

^a+b+c−d

)

⁽¹⁰⁾

Mit s= ¹₂

(

a+b+c+d

)

(halber Umfang) kann die Flächenformel auch in der folgenden Form geschrieben werden:

a

b c

d

β

A=

(

s−a

) (

^s−b

) (

^s−c

) (

^s−d

)

^(10a)

Das ist die Formel von Brahmagupta (598-670). Für d = 0 ergibt sich die Heronsche Formel für die Dreiecksfläche.

4.2 Diagonalen

Wir setzen (5) in (2) ein und erhalten für die Diagonale e:

e² =(^ad+bc)(ac+bd)

ab+cd (11)

Durch zyklische Vertauschung ergibt sich für die Diagonale f:

f² = (^ba+cd)(bd+ca)

bc+da =(^ab+cd)(ac+bd)

ad+bc (12)

Aus (11) und (12) ergibt sich:

e²f² =

(

ac+bd

)

²

e f =ac+db (13)

Dies ist der Satz von Ptolemäus.

4.3 Umkreisradius

Für den Umkreisradius r gilt im Dreieck ABC (Abb. 1):

rsin

( )

β ⁼₂^{e (14)}

Einsetzen von (8) und (11) liefert:

r= (^ab+cd)(^ac+bd)(^ad+bc)

−a+b+c+d

( )(^a−b+c+d)(^a+b−c+d)(^a+b+c−d) ⁼ (^ab+cd)(^ac+bd)(^ad+bc)

4A (15)

Isch dös a Rechnerei!

5 Ausblick. Isoperimetrisches Problem Es gilt:

Ein n-Eck mit gegebenen Seiten a_k,k=1, ... ,n, hat genau dann maximalen Flächenin- halt, wenn seine Ecken auf einem Kreis liegen (Sehnen-n-Eck).

Beweis: www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Isoper_Vielecke/Isoper_Vielecke.htm Das ist eine diskrete Version des isoperimetrischen Problems.