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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser, [20080922a]

Kaleidoskop Anregung: J. S.

In einen Zylinder mit gegebenem Innenradius r sollen n≥3 Spiegel der Dicke d zu einem Kaleidoskop eingepasst werden (Figur für das klassische Kaleidoskop mit

n=3). Gesucht ist die Spiegelbreite b.

b d

Kaleidoskop

Bearbeitung

Wir arbeiten mit dem in der folgenden Figur eingezeichneten Dreieck. Dieses hat den stumpfen Winkel π−πn .

r a

b d

Arbeitsfigur

Zunächst ist b=2asin

( )

πn . Der Kosinussatz im Dreieck liefert:

r2 =a2 +d2 −2adcos

( )

π−πn =a2 +d2 +2adcos

( )

πn

Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung für a:

(2)

Hans Walser: Kaleidoskop 2/2

a2 +2adcos

( )

πn +d2 −r2 =0

Diese hat die positive Lösung:

a=−dcos

( )

πn + r2 −d2sin2

( )

πn

Wegen b=2asin

( )

πn erhalten wir für die gesuchte Spiegelbreite:

b=2 sin

( )

πn ⎛⎝−dcos

( )

πn + r2 −d2sin2

( )

πn ⎞⎠

Für das klassische Kaleidoskop mit 3 Spiegeln erhalten wir daraus:

b= 23

(

−d+ 4r2 −3d2

)

Bemerkung: Bei dieser Lösung treffen zwei benachbarte Spiegel entlang einer gemein- samen Kante aufeinander. Das ist statisch sehr ungünstig und dürfte in der Praxis kaum funktionieren.

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